Re: Puissance complexe

Le 24/12/2021 à 21:48, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 24/12/2021 à 15:58, Julien Arlandis a écrit :

Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a que 4 valeurs différentes.

 S'il n'y a qu'un seul "k" c'est pareil. Tu lie arbitrairement les deux termes de 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne sais toujours pas si c'est légitime.
 Je pense que le problème est mal posé en parlant de valeur de l'expression numérique 1^(1/2) + 1^(1/4) "sans contexte".

On se retrouve devant une expression mal définie, comme lorsqu'on veut évaluer l'expression 1/2*2, en l'absence de parenthèses pour définir les priorités, seule une convention peut permettre de décider entre les valeurs 1 et 1/4.
Quand on écrit 1^(1/2) et qu'on attend une valeur dans C, l'information est incomplète car la fonction racine est sensible à la phase de l'argument.
L'expression exp(2iπ)^(1/2) ne souffre d'aucune ambiguïté et le résultat est incontestablement exp(iπ)=-1. Il faut alors considérer que les nombres exp(2iπ) et exp(4iπ) sont des nombres qui ne sont pas équivalents pour certaines applications et que le nombre 1 est une notation ambigüe qui désigne n'importe quel nombre parmi exp(2ikπ).
Dans ce cas 1^(1/2) est une expression mal définie, on pourrait compléter la notation en notifiant la phase entre crochets (forcément un multiple de 2π) pour lever l'indétermination :
(1[0])^(1/2) = 1 mais (1[2π])^(1/2) = -1.
1^(1/2) + 1^(1/4) pourrait très bien désigner (1[2π])^(1/2) + (1[4π])^(1/4) = -2 mais cette expression souffre d'un défaut d'accord de phase (*) entre les expressions. Cela pourrait faire l'objet d'une convention qui ferait le choix de conserver l'accord de phase, ce qui semble assez raisonnable. Cela présente l'avantage comme on l'a vu de conserver les propriétés de factorisation. Sous cette convention, on voit que les expressions 1^(1/2) et 1^(1/4) ne désignent jamais la valeur -1 lorsqu'ils sont en phase et par conséquent leur somme ne peut pas valoir -2.
Pour finir, je ne suis pas certain que les surfaces de Riemann nous soient d'un grand secours dans la manière d'évaluer des expressions comme 1^(1/2) + 1^(1/4), il s'agit juste de se mettre d'accord sur les conventions à définir pour lever les ambiguïtés.
(*) Attention je fais une différence entre phase et argument, par exemple -1[0] désigne exp(iπ)
et i[2π] désigne exp(5iπ/2).