Le 22/04/2023 à 07:46, jdanield a écrit :
Sais-tu faire le calcul à la main? Si tu avais une calculatrice haut de gamme, par exemple une HP48C d'il y a 20 ans (ou n'importe quelle autre plus moderne), comment ferais-tu pour résoudre le problème?
ChatGPT est un bien meilleur vulgarisateur que moi :
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Navier-Stokes:
Les équations de Navier-Stokes décrivent le comportement des fluides, tels que l'eau ou l'air, en mouvement. Elles sont basées sur la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie.
Ces équations sont des équations différentielles non-linéaires, ce qui signifie qu'il n'existe pas de solution analytique générale pour toutes les situations. Cependant, des solutions numériques peuvent être trouvées en utilisant des méthodes informatiques.
L'une des méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre les équations de Navier-Stokes est la méthode des éléments finis. Cette méthode consiste à diviser le domaine fluide en petites zones, appelées éléments finis, et à résoudre les équations de Navier-Stokes pour chaque élément fini. Les résultats sont ensuite combinés pour fournir une solution complète pour tout le domaine fluide.
D'autres méthodes numériques, telles que la méthode des volumes finis et la méthode des différences finies, peuvent également être utilisées pour résoudre les équations de Navier-Stokes.
Cependant, la résolution des équations de Navier-Stokes est un problème complexe et coûteux en calcul, et nécessite souvent l'utilisation de supercalculateurs pour obtenir des résultats précis pour des situations réalistes.
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Elements finis:
La méthode des éléments finis est une technique de calcul numérique utilisée pour résoudre des problèmes mathématiques complexes, tels que les équations différentielles. Cette méthode est très utilisée dans de nombreux domaines scientifiques et industriels, comme l'ingénierie, la mécanique, l'aéronautique, etc.
Le principe de la méthode des éléments finis consiste à diviser un problème complexe en petits éléments simples, appelés éléments finis. Ces éléments sont généralement des triangles ou des quadrilatères pour les problèmes en deux dimensions, ou des tétraèdres ou des hexaèdres pour les problèmes en trois dimensions.
Chaque élément fini est défini par un ensemble de nœuds, qui sont des points où les valeurs inconnues du problème (par exemple, la pression ou la vitesse d'un fluide) doivent être déterminées. En connectant les nœuds, on obtient un maillage, qui représente l'ensemble du domaine où se produit le problème.
Pour résoudre le problème, la méthode des éléments finis utilise une technique de projection des équations mathématiques sur les éléments finis. Cette technique consiste à approximer la solution inconnue de chaque élément fini par une combinaison linéaire de fonctions simples, appelées fonctions d'interpolation. Ces fonctions sont choisies de manière à satisfaire les conditions aux limites du problème.
Une fois que les équations sont projetées sur chaque élément fini, elles peuvent être assemblées pour former un système d'équations linéaires globales, qui peut être résolu numériquement pour obtenir la solution complète du problème.
La méthode des éléments finis est une méthode très flexible et efficace, car elle permet de résoudre des problèmes complexes avec une précision élevée, tout en utilisant des ordinateurs pour effectuer les calculs. Elle est également largement utilisée dans les domaines de la simulation numérique et de l'optimisation, pour concevoir et optimiser des produits et des processus.
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Volumes finis:
La méthode des volumes finis est une technique numérique utilisée pour résoudre des équations différentielles qui décrivent le comportement des fluides, des gaz ou d'autres phénomènes physiques. Elle est largement utilisée dans les domaines de l'ingénierie, de la mécanique des fluides, de la météorologie, de la géologie et de nombreux autres domaines scientifiques et industriels.
Le principe de la méthode des volumes finis est de diviser l'espace en petits volumes de contrôle, appelés cellules. Dans chaque cellule, on approxime la solution inconnue de l'équation différentielle par une valeur moyenne. Les flux de matière, d'énergie ou de quantité de mouvement à travers les frontières de chaque cellule sont ensuite calculés en utilisant des lois de conservation appropriées.
En d'autres termes, on considère les flux entrants et sortants dans chaque cellule, puis on applique les principes de conservation pour déterminer la variation de la quantité inconnue à l'intérieur de la cellule. Les équations obtenues pour chaque cellule sont ensuite assemblées pour former un système d'équations différentielles pour le domaine entier.
Les avantages de la méthode des volumes finis sont sa capacité à gérer des géométries complexes, à prendre en compte des conditions aux limites non uniformes et à garantir la conservation des quantités physiques dans chaque cellule. Elle est également bien adaptée à la simulation de fluides compressibles et incompressibles, de gaz, de fluides à haute vitesse et d'autres phénomènes physiques.
La méthode des volumes finis est largement utilisée dans les logiciels de simulation numérique et de modélisation pour la conception et l'optimisation de systèmes physiques. Cependant, elle nécessite une puissance de calcul importante pour traiter de grandes quantités de données et obtenir des résultats précis.
-- F.J.
pas mal...
Re: pas mal...
