Fonctions polynomiales et nombres premiers : Le retour

Le 14/09/2021 à 17:00, ast a écrit :

Bonjour,
 Selon cette page wikipédia
 https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples   il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les entiers n, ou même pour presque tous les n
 

Bonjour,
Je reviens à cette affaire de polynômes...
(histoire de proposer des questions plus en rapport avec les maths)
1°) Les preuves déjà évoquées (celle de M. Penn sur Youtube ou ma version allégée) supposent que le polynôme est à coefs entiers
mais dans l'affirmation citée, ce n'est pas le cas.
D'ailleurs, un peu plus bas dans le même article de wikipédia,
un exemple est fourni avec un polynôme à coef rationnels
qui fournit 58 nombres premiers...
(On peut probablement exclure les coefs irrationnels mais je n'en suis pas totalement certain.)
Mézalor, ces preuves ne marchent plus car pour dire que F(m.p) est un multiple de p, on utilise (sans le dire) le fait que les coefs de F sont entiers.
Il faut donc envisager quelque-chose de plus "fin" pour prouver cette propriété...
2°) Peut-on aborder le cas où "presque tous" signifierait
"sur une partie asymptotiquement dense de ℕ" ?
(ce qui n'est visiblement pas le cas pour l'article cité en référence)
Si on a
     une partie A de ℕ  telle que :
     card{k∈A : k ≤ n}/n → 1  (quand n → inf)
Et
     un polynôme F (à coefs rationnels)
     tel que , pour tout a de A, F(a) est un nb premier.
F est-il forcément constant ?
Amicalement,
HB