Re: Quelles lampes seront allumées ?

Le 22/09/2021 à 22:08, Benoit a écrit :

Le 22 septembre 2021 à 21:15, Olivier Miakinen d'un élan de joie
s'exprima ainsi :
 

Bonjour,
>
Je n'ai rien compris à l'énigme de remy, mais elle m'en rappelle une autre.
>
>
Vous avez une série (éventuellement infinie) de lampes numérotées 1, 2, 3,
etc. jusqu'à N (ou jusqu'à l'infini), chacune commandée par un interrupteur.
Initialement toutes les lampes sont éteintes.
>
Maintenant vous basculez un à un tous les interrupteurs. Le numéro 1, puis le 2,
le 3, et ainsi de suite. Toutes les lampes se retrouvent donc allumées.

Ensuite vous basculez seulement un interrupteur sur deux : le 2, le 4, le 6,
etc. Seules les lampes de numéro impair sont toujours allumées.
>
Vous faites la même chose, mais avec un interrupteur sur trois : ça éteint la
lampe numéro 3, rallume la numéro 6, éteint la numéro 9...
>
Vous continuez avec un interrupteur sur quatre, puis un sur cinq, etc., tout
pareil.
>
>
La question est : quelles ampoules seront allumées après toutes ces opérations
(éventuellement en nombre infini s'il y avait une infinité d'ampoules) ?

 Les nombres premiers ?
 

Bin non, aucun premier ne convient
- La lampe 1 va restée allumée
- Après les tours 2 et 3
    Les lampes 2 et 3 ne sont plus allumées
     et leurs interrupteurs ne serviront plus...
Tour n°4 : La 4 est allumée définitivement.
Tour n°5 : la lampe 5 est coupée définitivement.
Tour n°6 : la lampe 6 est coupée définitivement...
Etc ...
En fait, et si je ne m'abuse
l''interrupteur de la lampe n°N sert D(N) fois
où D(N) est le nombre des diviseurs de N (1 et N compris)
Ce qui signifie (AMHA)
La lampe n°N sera allumée à la fin
     SSI
D(N) est impair.
càd
La lampe n°N sera allumée à la fin
     SSI
N est un carré.
Amicalement,
HB.