Re: Problème de maths

Le 19/12/2021 à 16:02, Michel Talon a écrit :

Le 19/12/2021 à 11:36, HB a écrit :

Le 19/12/2021 à 11:30, HB a écrit :

Le 18/12/2021 à 13:18, Badi Megueni-Tani a écrit :

bonjour,
da
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On considère un quadrilatère de l’espace tangent à une sphère. Montrer que les points de tangence sont coplanaires.

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Bonjour,
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1°) J'imagine qu'il faut lire
      "un quadrilatère dont les 4 côtés sont tangents à une sphère"
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2°) S'agit-il d'un quadrilatère convexe et non-croisé ?
     (même si dans le cas contraire,
      la situation est difficile à imaginer ... mais bon)
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3°) S'agit-il d'un quadrilatère "plan" ou bien,
     ce que semble sous-entendre "quadrilatère de l’espace",
     d'un quadrilatère éventuellement "gauche" ?
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Cordialement,
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HB
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Bien sûr, le 3°) est une blague ...
je précise ... au cas où ...

 Il s'agit évidemment d'un quadrilatère "gauche" c'est à dire 4 points A, B, C, D, de l'espace tels que AB, BC, CD, DA soient tangents à la sphère
en 4 points respectivement X, Y, Z, T  et on demande de montrer que
X Y Z T sont coplanaires. Si la sphère est de centre 0 et de rayon 1 par exemple, X vérifie 2 conditions
x1.x1+x2.x2+x3.x3 = 1
x1.(b1-a1)+x2.(b2-a2)+x3.(b3-a3)=0
et 3 conditions similaires pour Y, Z, T. La coplanarité équivaut à
X-Y, Y-Z, Z-T sont liés, ou encore
 det( x1-y1, x2-y2, x3-y3
      y1-z1, y2-z2, y3-z3
      t1-z1, t2-z2, t3-z3 ) = 0
Comment obtenir cela?
Avec un logiciel de calcul formel, ça revient à montrer que le déterminant est dans l'idéal engendré par les 8 autres relations, en
utilisant une base de Grobner.  A la main je ne vois pas trop.
 

>

Tout à fait.
J'ai très brièvement tenté ma chance avec maxima
mais je n'ai pas pris le temps de creuser...
Il existe peut-être, par ailleurs,
une approche féconde plus "géométrique" ...
Cordialement,
HB