Re: Puissance complexe

Le 20/12/2021 à 21:36, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 20/12/2021 à 21:07, Julien Arlandis a écrit :

 J'ai pas vraiment compris ni creusé les raisons profondes pour lesquelles le logarithme était multivalué.

 Ben c'est tout con: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y = exp(x).
 

Est ce une convention

 non
 

ou y a t-il une raison plus profonde ?

 heu, oui.. mais c'est tout con: l'argument d'un complexe n'est défini qu'à 2pi-près.
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
 En outre la fonction ln() n'est pas continue sur l'ensemble du plan complexe. En fait je crois qu'elle n'est pas méromorphe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_m%C3%A9romorphe
 La présence des 2pi.i apparait quand tu fais des intégrales suivant une courbe sur le plan complexe. Les pôles d'ordre 1 (les trucs en 1/x sous l'intégrale) apportent 2pi.i à chaque tour dans le sens (anti?)horaire de l'intégrale autour de ce pole il me semble. C'est un grand classique du filtrage continu cette histoire là si j'ai bonne mémoire.
 

Et pourquoi la fonction racine carrée n'est elle pas multivaluée

 Ben si elle l'est: il y a plusieurs valeurs de x qui satisfassent y=x² dans R: +/- sqrt(x).
 https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multivalu%C3%A9e#La_racine_carr%C3%A9e ;)
 Tiens d'ailleurs est-ce que i c'est sqrt(-1) ou -sqrt(-1) ? ;)
 sam.

sqrt(-1) = exp(i*(k+1/2)*pi) = {i, -i}               [1]
-sqrt(-1) = -exp(i*(k+1/2)*pi) = {-i, i}             [2]
Et donc doit on en conclure que sqrt(-1) = -sqrt(-1) ?