Re: Puissance complexe

Le 23/12/2021 à 12:38, Michel Talon a écrit :

Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :

Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de Riemann....

 Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus formellement ?

 C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a 2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y
 Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe.
On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes"
au dessus d'un petit disque autour de x dans C.
 Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à la surface.
 Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface
de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est
trivialement la projection (x,y) -> y
 Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0
où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc.

Je comprends vaguement l'idée qui consiste à modifier le domaine de l'application multivaluée par autant de feuillets que nécessaire. On se retrouve bien avec des applications contenant une seule image au plus mais avec des ensembles de départs différents selon les applications. Pour être pragmatique, si je veux évaluer :
1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la racine cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ?