Re: Puissance complexe

Le 24/12/2021 à 00:55, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit :

Je me réponds à moi même.
1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)

 Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles deux expressions indépendantes.

Pour que les deux termes soient sur le même "feuillet".

moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3)

Ben non, car +/-1 + +/-1 conduit à 3 valeurs. Voir la discussion sur les surfaces de Riemann.

Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
k = 6n + 0 => +2
k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
k = 6n + 3 => 0
k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2

 ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6.

Oui.

Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ?

 Si z = exp(alpha i), vérifie z^n = 1 (z est racine de l'unité), on en déduit en divisant par z^n des deux cotés que 1 = 1/z^n = 1/exp(alpha i) = exp(-alpha i) = cos(alpha) - sin(alpha i) = conjugué(z).
 Bref si un complexe est racine de l'unité, son conjugué l'est aussi (en plus d'être égal à son inverse). Ceci implique que les racines de l'unité sont symétriques par rapport à l'axe réel.
 Cela explique la symétrie verticale que tu observes.
 Quand à l'interprétation géométrique de la figure complète tu as j^k (où j est classiquement la racine 3e de l'unité) qui décrit un triangle équilatéral et donc +/-1 + j^k donne ce triangle équilatéral translaté horizontalement de +/- 1, pour un total de 6 points.
 sam.