Re: Puissance complexe

Le 24/12/2021 à 15:58, Julien Arlandis a écrit :

Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a que 4 valeurs différentes.

S'il n'y a qu'un seul "k" c'est pareil. Tu lie arbitrairement les deux termes de 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne sais toujours pas si c'est légitime.
Je pense que le problème est mal posé en parlant de valeur de l'expression numérique 1^(1/2) + 1^(1/4) "sans contexte". Les surfaces de Riemann interviennent sur les fonctions à valeur complexe. or ici ca n'est pas une fonction mais une expression numérique.
L'interprétation par surface de Riemann s'applique si au lieu de considérer les expressions avec deux "1" indépendants (l'un est exp(2pi*k1*i), l'autre exp(2pi*k2*i)), on, peut considérer la *fonction"
f(z) = z^(1/2) + z^(1/4) [1]
et voir les valeurs que prends cette fonction dans le plan complexe si on impose une sorte de continuité de f(z), c'est à dire en restant sur le même feuillet.
Et là on retrouve le lien entre les deux termes: la variable z qui bouge de la même façon dans chacun des termes. Je comprends alors la factorisation, et donc le fait que c'est impossible d'avoir -2.
C'est du coup totalement différent de g(x,y) défini par x^(1/2) + y^(1/2) avec x et y sur le plan complexe car là les deux termes sont totalement différents.
Bref: truc était de ne pas parler des valeurs de 1^(1/2) + 1^(1/4) en tant que lim (x,y)->(1,1) g(x,y) = g(1,1), mais en tant que lim z->1 f(z) = f(1) si on se place dans le cadre de la continuité de f, c'est à dire sur un feuillet de Riemann.
Ok ca fait du sens à présent. Merci.
Cependant je me demande si on obtiendrait le même résultat avec la fonction
h(z) = [cos(z-1)]^(1/2) + z^(1/4)
qui vérifie aussi h(1) = 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne pense pas que lim z->1 h(z) = lim z->1 f(z), car f et h sont localement différentes au voisinage de 1. Ceci explique que la valeur f(1) ne peut pas être retenue comme unique valeur pour 1^(1/2)+1^(1/4). Tout est dépendant du contexte, en particulier de la fonction.
sam.