Re: Puissance complexe

Le 25/12/2021 à 18:27, Michel Talon a écrit :

En général si x est solution de P(x)=0 et y de Q(y)=0 alors tu peux trouver un polynôme R(z) tel que z soir racine de R, par le procédé d'élimination, éliminer x entre les deux équations P(x)=0 et Q(z-x)=0.

ah oui du coup z = y+x..

En pratique pour éliminer on calcule le résultant. Après il faut regarder si dès fois R est factorisable, etc.

(..)

Exemple, avec 5^1/2 et 2^1/3:
 

(..)

                      6       4      3       2
(%o4)               z  - 15 z  - 4 z  + 75 z  - 60 z - 121
 On a bien trouvé R qui est irréductible et est assez naturellement de degré 6.  5^1/2+2^1/3 est une racine de ce polynome.

Intéressant !
Et la répartition sur le plan complexe des racines montre ce qu'il se passe:
https://tinyurl.com/mwu4xh5x
* on a les racines cubiques de 2 formant un triangle équilatéral
!                   Re=-0.630
!                       /    |
!            Im=1.09~~(*)   +i
!                      :  ` .|          1.260
!                      :     | .         /
!                      :     |   ` .    /
!  --+-------+-------+-:----(o)------+(*)----+-------+-------+---->
!   -3      -2      -1 :     |    .  '      +2      +3      +4
!                      :     |. '   +1
!                      : , ' |
!                     (*)   -i
!                            |
* auquel on ajoute les racines de 5 (+/-2.236), c'est à dire qu'on dédouble ce triangle de sorte à avoir l'un centré en +2.236 (sqrt(5)), et l'autre en -2.236. Ainsi les deux racines avec Re(z)=-0.630 (-1/2 2^(1/3) se retrouvent décalées en -0.630 - 2.236 = -2.866 et -0.630 + 2.36 = 1.606. On envoie aussi le +1.260 (2^(1/3)) en 1.260 - 2.236 = -0.976 et 1.260 + 2.236 = 3.496.
!    Re=-2.866                           Re=1.606
!     /                      |            /
!   (*)~ ~ ~ ~ Im=+1.09 ~ ~ +i ~ ~ ~ ~ ~(*)       2.236
!    :  ` . -2.236           |           :  ` .    /
!    :       /.      -0.976  |           :      ` /      3.496
!    :      /   `  .  /      |           :       /  ` .   /
!  -+:----(o)+------(*)------0-------+---:---+-(o)---+--(*)--+---->
!    :         .  '          |           :          . '
!    :     . '               |           :      . '
!    : , '                   |           : , '
!   (*)~ ~ ~ ~ Im=-1.09 ~ ~ -i ~ ~ ~ ~ ~(*)
!                            |
Ce sont précisément les valeurs trouvée numériquement comme racine du polynôme par wolfram alpha,
https://tinyurl.com/y9eat7mh
sauf que géométriquement on peut avoir l'expression exacte de toutes les racines :)
* 2^(1/3) +/- sqrt(5)
   (-0.976 ou 3.496)
* [+/-sqrt(5) - 1/2 2^(1/3)] +/- [ 1/2 * 2^(1/3) * 3^(1/2) ]i
   (1.606 +/- 1.09i ou -2.866 +/- 1.09i)
sam (cool l'ascii art.. j'espère qu'il passera bien)