Re: Qui parviendra à évaluer cette expression

Le 26/12/2021 à 13:07, Julien Arlandis a écrit :

On peut construire l'expression
x = 18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/(11-18/...)))
Mais qui ne converge que vers 2.
Pourquoi ?

Soit la suite:
u(n+1) = 18/(11 - u(n))
Si elle converge vers une limite L, alors L vérifie par continuité que
L = 18/(11 - L)
L² -11L + 18 = 0
donc
L=2 ou L=9
comme attendu.
Maintenant affichons la courbe de f(x)=18/(11 - x)
https://tinyurl.com/2p986whx
On retrouve nos deux valeurs 2 et 9 recoupant la droite y=x.
Regardons le la dérivée de f en 2 et 9
f'(x) = 18/(11-x)²
f'(2) = 2/9 < 1
f'(9) = 18/4 > 1
Autrement dit au voisinage de 2, f(x) est contractante, et autour de 9 elle est "repoussante" (je ne sais pas si ce terme existe, mais je veux dire le contraire de contractante. Peut-être faut-il parler de "décontractante".. je vais demander à Garcimore ce qu'il en pense).
Ceci signifie que le point fixe 2 est attracteur (on y converge à partir du moment où on entre dans le voisinage où elle est contractante), et 9 un "répulseur". La valeur 9 est une valeur instable, on s'en écarte de plus en plus pour tomber vers l'attracteur 2.
Donc tout dépends de ton u(0) initial. Si tu le fixes à 9, tu va y rester tout le temps, autrement si tu es juste un peu écarté de 9, l'itéré va s'en éloigner et tomber dans le champ d'attraction de 2 et converger vers ce dernier.
Note: On peut même donner une vitesse de convergence vers le point fixe pour les applications contractantes. Plus d'infos: https://tinyurl.com/ysmvmdtf
sam.