Re: Pythagore

Le 14/01/2022 à 21:33, Sylvie Jaquet a écrit :

https://s3.amazonaws.com/gs-geo-images/b28073b2-b7b3-44c6-ae3f-290de6e439c4.jpg
>
Quel est le rayon du cercle (avec au minimum 3 chiffres après la virgule) ?

J'ai essayé une solution analytique qui vaut ce qu'elle vaut.
Le fichier geogebra se trouve à l'adresse suivante
    https://anonfiles.com/15Ka41Bbx6/prob_triangle_ggb
Le RON est (A, Ax, Ay) avec Ax= hypoténuse du triangle ABC de côté 4
J'appelle a l'angle en degrés entre Ax et le côté du triangle de côté 1 : le curseur permet de modifier cet angle entre 0° et 360°.
On a alors les coordonnées suivantes :
    B(4 ; 0) et D(cos a ; sin a)
La médiatrice de [BC] a pour équation
    y = x - 2
et celle de [DE]
    y = x.tan(45 + x)
Les coordonnées de O, intersection des 2 médiatrices se trouvent facilement et sont :
    O(1 - cot a ; -1 - cot a)
Partant de là, on a les carrés des longueurs suivantes :
    OB^2 = (3 + cot a)^2 + (1 + cot a)^2
et
    OD^2 = (cos a - 1 + cot a)^2 + (sin a + 1 + cot a)^2
Les 4 points sont cocycliques lorsque OB = OD.
En posant t = tan (a/2), et en résolvant OB^2=OD^2, on obtient 2 solutions réelles
    t = (7 + sqrt(109))/10
    t = (7 - sqrt(109))/10
ce qui correspond à des angles a égaux approximativement à
    a = 120,341°
    a = 322,030°
On peut s'assurer avec geogebra que ces 2 angles conduisent bien 4 points cocyliques.
Comme le rayon du cercle passant par les 4 points vaut r = OB, on obtient avec wolfram (en injectant les valeurs exactes de t obtenues auparavant) :
    r = (2 sqrt(2 (65983993 + 6319744 sqrt(109))))/(6580 + 640
    sqrt(109)) ≈ 2.450024769
et
    r = sqrt(65983993/2 - 3159872 sqrt(109))/(5 (32 sqrt(109) - 329)) ≈
    1.741532137