Re: Démo 3=0

Le 10/03/2022 à 16:05, Julien Arlandis a écrit :

Bonjour, j'ai trouvé cette énigme sur un groupe facebook :
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La question n'est pas de savoir si 3=0 ou si delta est négatif, la
question est de savoir quelle étape du raisonnement je n'ai pas le droit
de franchir et pourquoi :
x²+x+1=0
D'une part x(x+1)=-1
D'autre part x+1=-x²
D'où, par substitution, x(-x²)=-1
Ou -x³=-1 !
Dont la seule solution est x=1. D'où 3=0.
groupe facebook
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Intuitivement, on comprend que la substitution est ici une opération
illicite qui fait augmenter le degré de l'équation, ce qui revient à
rajouter une solution réelle. Mais plus formellement, quelle règle
algébrique est violée ?

 
Si je me place dans le corps Z/2 x²+x+1 = 1 quel que soit x  (x=0 ou x=1    x²=x
 x+x= 0  et 0+1=1
 

Dans le corps Z/3   x² + x +1  pour x=0 vaut 1 pour x=1  vaut 0 et pour x=2 vaut 1
 
Dans l'anneau Z/4  x²+x+1 vaut 1 pour x=0, 3 pour x=1, 3 pour x=2, 1 pour x= 3

etc....
 
Comme quoi tout dépend de l'endroit où on est.