Re: Abscisses de discontinuité

Le 11/07/2022 20:41, Olivier Miakinen a écrit :

Le 11/07/2022 20:31, did a écrit :

J'ai ajouté le PS trop vite sans vérifier.
f n'est pas impaire,

 
En effet. f(1) = f(1/2) = -6 alors que f(-1) = 5 et f(-1/2) = -1
 

c'est une autre fonction dans
laquelle elle apparait. En fait, la fonction qui
m'intéresse vraiment est
F(x) = 1/2 +  [ x + 1/2 ] + [ x - 2 * pi * [ x + 1/2 ] ],
qui semble être impaire d'après son graphe,
mais cela reste à démontrer.

Alors.

Cette fonction n'est *pas* impaire, parce que par exemple f(0) = 1/2 ≠ 0.
En revanche je peux montrer que F(−x) = −F(x) partout /sauf/ aux points de
discontinuité !

Déjà, pardon pour l'anglais, je vais noter floor(x) = ⌊x⌋ et ceil(x) = ⌈x⌉,
ça me semble plus facile à écrire et même à lire.


1. Quelques remarques préliminaires

Aux points de discontinuité, on a ceil(x) = floor(x) = x. Ces points ne vont
pas nous intéresser.

En dehors d'un point de discontinuité, on a :
 (I) ceil(x) = floor(x) + 1 = floor(x + 1).

Par ailleurs, pour tout x, on a :
 (II) floor(x) = − ceil(−x) et ceil(x) = − floor(−x).


2. Allons-y pour les calculs

On part de :
F(x) = 1/2 + floor(x + 1/2) + floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))

En dehors de tout point de discontinuité, on doit avoir :
F(−x) = 1/2 + floor(−x + 1/2) + floor(−x − 2 pi floor(−x + 1/2))
F(−x) = 1/2 − ceil(x − 1/2) + floor(−x + 2 pi ceil(x − 1/2))           (par II)
F(−x) = 1/2 − floor(x − 1/2 + 1) + floor(−x + 2 pi floor(x − 1/2 + 1)) (par I)
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) + floor(−x + 2 pi floor(x + 1/2))
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) − ceil(x − 2 pi floor(x + 1/2))           (par II)
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) − floor(x − 2 pi floor(x + 1/2)) − 1      (par I)
F(−x) = −1/2 − floor(x + 1/2) − floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))
F(−x) = − F(x), CQFD


--
Olivier Miakinen