Re: Abscisses de discontinuité

Oui, j'avais remarqué que la fonction est impaire, sauf aux points de discontinuité.
J'aurais dû le préciser. Merci pour la démonstration.

Pour les abscisses de discontinuité (et la hauteur des sauts), je ne vois pas comment
m'y prendre.

On Monday, 11 July 2022 at 21:23:45 UTC+2, Olivier Miakinen wrote:

Le 11/07/2022 20:41, Olivier Miakinen a écrit :

Le 11/07/2022 20:31, did a écrit :

J'ai ajouté le PS trop vite sans vérifier.
f n'est pas impaire,

 
En effet. f(1) = f(1/2) = -6 alors que f(-1) = 5 et f(-1/2) = -1
 

c'est une autre fonction dans
laquelle elle apparait. En fait, la fonction qui
m'intéresse vraiment est
F(x) = 1/2 + [ x + 1/2 ] + [ x - 2 * pi * [ x + 1/2 ] ],
qui semble être impaire d'après son graphe,
mais cela reste à démontrer.

Alors.
 
Cette fonction n'est *pas* impaire, parce que par exemple f(0) = 1/2 ≠ 0.
En revanche je peux montrer que F(−x) = −F(x) partout /sauf/ aux points de
discontinuité !
 
Déjà, pardon pour l'anglais, je vais noter floor(x) = ⌊x⌋ et ceil(x) = ⌈x⌉,
ça me semble plus facile à écrire et même à lire..
 
 
1. Quelques remarques préliminaires
 
Aux points de discontinuité, on a ceil(x) = floor(x) = x. Ces points ne vont
pas nous intéresser.
 
En dehors d'un point de discontinuité, on a :
(I) ceil(x) = floor(x) + 1 = floor(x + 1).
 
Par ailleurs, pour tout x, on a :
(II) floor(x) = − ceil(−x) et ceil(x) = − floor(−x).
 
 
2. Allons-y pour les calculs
 
On part de :
F(x) = 1/2 + floor(x + 1/2) + floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))
 
En dehors de tout point de discontinuité, on doit avoir :
F(−x) = 1/2 + floor(−x + 1/2) + floor(−x − 2 pi floor(−x + 1/2))
F(−x) = 1/2 − ceil(x − 1/2) + floor(−x + 2 pi ceil(x − 1/2)) (par II)
F(−x) = 1/2 − floor(x − 1/2 + 1) + floor(−x + 2 pi floor(x − 1/2 + 1)) (par I)
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) + floor(−x + 2 pi floor(x + 1/2))
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) − ceil(x − 2 pi floor(x + 1/2)) (par II)
F(−x) = 1/2 − floor(x + 1/2) − floor(x − 2 pi floor(x + 1/2)) − 1 (par I)
F(−x) = −1/2 − floor(x + 1/2) − floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))
F(−x) = − F(x), CQFD
 
 
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Olivier Miakinen