[Solution] Abscisses de discontinuité

Le 11/07/2022 19:25, did a écrit :

 
Je cherche à déterminer l'ensemble de toutes les abscisses
réelles où la fonction (constante par morceaux) 
f(x) = [ x - 2 * pi * [ x + 1/2 ]  ]
est discontinue,

En résumé, pour la fonction (presque) impaire suivante :
F(x) = 1/2 + floor(x + 1/2) + floor(x − 2 pi floor(x + 1/2))

Les points de discontinuité sont, pour tout k entier, de l'une des deux
formes suivantes :
  x = k − 1/2
  x = k − 1/2 + frac(1/2 + (2 pi − 1)k)

Ça veut dire qu'entre deux demi-entiers successifs il y a toujours un nombre
irrationnel qui est aussi une discontinuité. Pourtant, quand on demande à un
logiciel tel que wolframalpha de tracer la fonction, on peut avoir l'impression
qu'on a une seule valeur entre 29,5 et 30,5. C'est une illusion due au fait que
l'autre discontinuité pour k=30, qui est 60 pi − 158, est tellement proche de
30,5 qu'on ne voit pas le saut. En effet, 60 pi − 158 vaut environ 30,495559.

De 29,5 à 30,495559 : F(x) = −128,5
De 30,495556 à 30,499999 : F(x) = −127,5
À partir de 30,5 : F(x) = −133,5

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Olivier Miakinen