Re: Factorisation x^4 + 4

Bonjour,

Le 15/05/2023 14:15, ast a écrit :

 
On a: x^4 + 1 =  ((x+1)²+1)).((x-1)²-1)

 
erreur
 
x^4 + 1 =  ((x+1)²+1)).((x-1)²+1)

Corrigeons tout de suite la deuxième erreur, avec un 4 au lieu d'un 1 :

x⁴ + 4 = ((x+1)²+1)).((x-1)²+1)

J'ai trouvé ta question intéressante. Voici comment je viens de faire pour
retrouver la réponse.

Je cherche à résoudre x⁴ + 4 = 0, soit x⁴ = −4.
Dans les nombres complexes, je trouve d'abord que x² = ±2i.
En prenant encore une fois la racine carrée, je trouve x = ±1 ±i.

<aparté>
Note que c'est peut-être plus facile avec x⁴ = −4 = 4.e^(i.π).
Il vient :
 x⁴ = (√2)⁴.e^(i.(π + 2.k.π))
 x = √2.e^(i.(π/4 + k.π/2))
 x = √2.e^(i.(π/4)).e^(i.k.π/2))
 x = (1+i).i^k
 x = 1+i, −1+i, −1−i, 1−i
</>

Ayant trouvé toutes les racines complexes de -4, je peux écrire :

x⁴ + 4 = (x + 1 + i)(x + 1 − i)(x − 1 + i)(x − 1 − i)
x⁴ + 4 = ((x + 1) + i)((x + 1) − i).((x − 1) + i)((x − 1) − i)
x⁴ + 4 = ((x + 1)² − i²).((x − 1)² − i²)
x⁴ + 4 = ((x + 1)² + 1).((x − 1)² + 1)

Cordialement,
--
Olivier Miakinen