Limite

Bonjour,
Je suis tombé ce matin sur une vidéo Facebook sans démonstration qui stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
Comment ça se démontre ?
Question annexe : si une fonction n'est pas définie en x0 MAIS que sa limite en x0 est réelle, peut on malgré tout trouver un moyen de la définir en x0 ? Si je compare par exemple f(x) = (x-e)/(ln(x)-1) et g(x) = 1/(ln(x)-1), même si les deux fonctions ne sont pas définies en x=e, il est plus facile de donner un sens à f(e) qu'à g(e). Existe t-il un nom pour qualifier une telle fonction qui possède une limite finie là où elle n'est pas définie ?