Re: Limite

Le 13/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :

Bonjour,
 Je suis tombé ce matin sur une vidéo Facebook sans démonstration qui stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
Comment ça se démontre ?

x = e+y, y petit. (|y|<<1).
ln(x) = ln(e+y) = ln(e) + y/e + o(y) = 1 + y/e + o(y)
(x-e)/(ln(x)-1) = y/(y/e+o(y)) = e + o(y) -> e lorsque y->0

Question annexe : si une fonction n'est pas définie en x0 MAIS que sa limite en x0 est réelle, peut on malgré tout trouver un moyen de la définir en x0 ? Si je compare par exemple f(x) = (x-e)/(ln(x)-1) et g(x)

Oui. Juste comme ça. on dit f(x0) = y0. Mais on n'est pas obligé de prendre y0 comme la valeur de la limite en x0. Les fonctions n'ont pas besoin d'être continues...

= 1/(ln(x)-1), même si les deux fonctions ne sont pas définies en x=e, il est plus facile de donner un sens à f(e) qu'à g(e). Existe t-il un

non

nom pour qualifier une telle fonction qui possède une limite finie là où elle n'est pas définie ?

non, pas un nom compact. C'est une fonction définie sur \R -{x0} prolongeable par continuité en x0.
--
F.J.