Re: Limite

Le 13/01/2024 à 11:41, efji a écrit :

stipule que : lim{x->e} (x-e)/(ln(x)-1) = e
Comment ça se démontre ?

 x = e+y, y petit. (|y|<<1).
ln(x) = ln(e+y) = ln(e) + y/e + o(y) = 1 + y/e + o(y)
(x-e)/(ln(x)-1) = y/(y/e+o(y)) = e + o(y) -> e lorsque y->0

On peut aussi utiliser la règle de l'Hôpital:
On note f(x)=(x-e), g(x) = ln(x)-1, f et g tendent toutes deux 0 quand x->e. Donc lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) quand x->e
Or f'(x) = 1 et g'(x)=1/x, soit f'(x)/g'(x) = x. On a donc:
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) = lim x = e lorsque x->e
sam.