Re: [SOLUTION] Biaiser les probabilités

Le 04/02/2024 à 11:49, Olivier Miakinen a écrit :

Le 03/02/2024 20:07, Julien Arlandis a écrit :

 Mais peut-être qu'il ne faut pas comprendre ta question comme « il se trouve
que je vais miser sur la dernière case, quelle est alors la probabilité de
gagner ? » (réponse : 100 %) mais plutôt comme « quelle est la probabilité
que je me retrouve dans la situation de devoir miser sur la dernière case ? »

 Oui, quand j'évoque la dernière case cela suppose que toutes les autres ont déjà été grattées et selon la stratégie décrite on peut être conduit à miser sur la Nième case de la grille équilibrée selon 2 cas bien déterminés :
1) si on obtient l'avantage p > g sur la case N-1

 Auquel cas on a 100 % de chances de gagner

Oui.

2) si on arrive à la case N-1 sans jamais avoir obtenu l'avantage p > g, on est alors forcé de miser sur la seule case restante.

 Auquel cas on a 0 % de chances de gagner

Oui.

J'aimerais savoir quelle est la probabilité que le joueur soit conduit à miser sur la dernière case,

 Bon, c'est environ C{N/2-1}/C(N,N/2) qui est assez proche de 1/N. Je ne sais
pas à quoi te servirait d'avoir une valeur plus précise, mais si vraiment tu
en as besoin ça doit pouvoir se calculer exactement.
 

et lorsque cette situation se produit quelle est sa probabilité de gagner ?

 Ça c'est facile : à partir du moment où tu es arrivé à N-2 sans avoir jamais
l'avantage p > g, et que toutes les cases gagnantes n'ont pas encore été
grattées, ça veut dire qu'il reste exactement une case gagnante et une case
perdante dans les deux dernières cases.

Tu peux aussi arriver à N-2 en ayant gratté les N/2 cases gagnantes.
La question revient à dénombrer le nombre de combinaisons n1 qui conduisent à miser sur la dernière case, et parmi ces n1 combinaisons combien y en a t-il où la condition p>g est vérifiée (notons n2 ce nombre).
La probabilité de gagner en misant sur la dernière case est donc n2/n1, ce nombre est forcément inférieur à 1/2 de façon à compenser toutes les probabilités de gagner dans les cas où tu es contraint de miser avant d'avoir gratté N cases et où l'on sait que la probabilité de gain est supérieure à 1/2.

Alors, que le joueur mise sur l'une des deux cases au hasard ou qu'il gratte
la N-1 avant de miser sur la N, la probabilité de gain est la même : 50 %.

Je ne suis pas sûr que l'on parle de la même chose, alors formalisons un peu le problème, on note P(i) la probabilité de gagner sur la i_ème case d'une grille équilibrée (N pair) avec la stratégie que j'ai évoquée (qui consiste à gratter tant que p<g et miser juste après).
P(i) = 0 pour l'ensemble des i impairs car on peut démontrer facilement que l'avantage ne peut être obtenu qu'après grattage d'un nombre impair de cases grattées, et la valeur P(1) = 1/2 (on gagne si dès le premier grattage on tombe sur un gain).
D'une manière générale on peut démontrer que pour tout i pair tel que i < N, P(i) = (N/2-g)/(N-i+1) où g est le nombre de cases gagnantes grattées avec g = i/2 - 1, ce qui se réécrit :
P(i) = 1/2 * (N-i+2)/(N-i+1) > 1/2.
Reste donc à calculer le cas P(N) plus complexe puisqu'il dépend comme je l'ai indiqué plus haut du nombre de branches qui vérifient la condition p>g qui y conduisent.

Sachant cela, est-ce que ça t'aiderait en quoi que ce soit d'avoir une valeur
précise sur le nombre de fois où cette situation peut survenir ? Je pense que
non, et que l'estimation approximative « environ 1/N » devrait te suffire
(voire qu'elle ne te sert à rien du tout).

Effectivement, il n'est pas nécessaire de connaitre la probabilité de miser sur la dernière case pour connaitre la probabilité de gagner sur cette dernière case.