Comment retrouver les racines complexes d'une équation quadratique

 Retrouver les racines réelles d'une équation, c'est très facile, et on le sait depuis au moins un millénaire.
 On pose x=[-b(+/-)sqrt(b²-4ac)]/2a
 Les mathématiciens ont démontré pourquoi.
 Maintenant, il est fréquent que les équations quadratiques n'aient pas de racines.  Le proverbe chinois dit : "Quand une hirondelle vole, elle vole".  Isaac Newton disait la même chose : "Quand équation pas racine, elle, pas racine".  De petits mathématiciens malins ont cependant fait des pieds et des mains, pour que : "Quand équation pas racines, équation racines quand même."
 L'idée est alors venue, d'introduire l'imaginaire i dans l'équation, afin de pouvoir utiliser une racine carré carrément méchante, puisque méchamment négative.
 Le problème, c'est que cette introduction est arbitraire, même si elle est intéressante, car elle ne dit
pas très "clairement" à quoi correspond la nouvelle géométrie sur le papier.
 On dit qu'on utilise un nombre qui est à la fois négatif (pour que le discriminent se positive) et à la fois carré, pour le ressortir comme simple i.
 Et ce nombre, on le rend égal à 1, ce qui permet de multiplier en interne sans contestation possible, mais sans voir très clair sur ce que va produire ce nouveau i dans les formulations.   Equation typique : f(x)=x²+4x+5=0
 Pas de racines réelles selon la formule écrite plus haut.  On va donc écrire x=[-b(+/-)sqrt(-i²)(b²-4ac)]/2a
 Mais est-ce vraiment valable?  L'immense Richard Hachel, théoricien de génie, triple prix Nobel, future médaille Fields pour ses travaux
portant sur les nombres complexes, pose la question.
 Puisque j'ai le droit de multiplier sans que six camionnettes de gendarmerie ne débarquent chez moi à six heures du matin, multiplions.
 1=sqrt(-i²) selon ce que dit Jean-Pierre. Multiplions tout par 1, et pas seulement le discriminant.
 x=[sqrt((-b)².i²)²(-i²)(+/-)sqrt(-i²)(b²-4ac)]/sqrt(-i².4a²)
 x=[b(+/-)sqrt[(-b².i²)-(4ac.i²)]/sqrt(4a²)
 x=[b(+/-)sqrt(b²+4ac)]2a
 C'est l'équation d'Hachel, tout aussi régulièrement que l'autre, mais qui trouve des racines complexes complétement différente.
 La question qui se pose est celle-ci: le fait d'introduire i dans une simple partie d'une équation et qui semble à première vue immensément correcte depuis des siècles, mais qui va donner les racines d'une rotation de la courbe de 180° sur le sommet S et non sur le point de symétrie $(0,y₀) est-elle valide.
 Dans le premier cas, nous trouvons les racines données par Python et les mathématiciens.  x'=-2+i et x"=-2+i. Soit les points A(0,-3) et B(0,-1)
 Dans l'autres les racines complétement différentes x'=2+3i et x"=2-3i soit A(0,1) et B(0,5).
 Certes, dans les deux cas, nous avons une rotation de 180°, une même utilisation de -i²=1
 Mais sur quelle injonction divine faut-il utiliser l'une plus que l'autre?
 Pourquoi une rotation de 180° sur le point S plutôt que sur le point $?
 Je vous laisse à vos réflexions (caféine autorisée).
 R.H.