Re: i^i

Le 10/05/2025 à 13:25, efji a écrit :

Le 10/05/2025 à 13:04, efji a écrit :

C'est bizarre que ce ne soit encore jamais venu sur le tapis, que vaut i^i ?
>
indice: c'est un nombre réel...
>

 Evidemment, ceux qui trouvent peuvent enchainer sur la suite :
Trouver les z\in\C t.q. z^z soit réel. En tracer la courbe.
 

Ben dites donc, ça ne passionne pas les foules mon petit problème...
Donc
i^i = e^{i log(i)}
La détermination principale du logarithme donne
log(i) = log(|i|) + i*arg(i) = i*π/2
où l'argument est l'argument principal, donc dans ]-π,π]
et donc
i^i = e^{i*log(i)} = e^{i*i*π/2} = e^{-π/2} qui est bien un réel.
Maintenant la seconde partie : trouver les complexes z t.q. z^z soit réel.
C'est pareil, toujours en utilisant la détermination principale du log :
log(z) = log(|z|) + i*arg(z), pour arg(z) \in ]-π,π]
écrivons
z = r*e^{i*t} = r*(cos(t)+i*sin(t)) avec t \in ]-π,π],
on a |z| = r et arg(z) = t
d'où
z^z = e^{r*(cos(t)+i*sin(t))*(log(r) + i*t)}
donc z^z est réel ssi la partie imaginaire de l'exposant ci-dessus vaut kπ, soit
t*cos(t) + log(r)*sin(t) = 2kπ, k\in\Z
Pour k=0 ça donne la courbe en coordonnées polaires
r = e^{-t/tan(t)}, t \in ]-π,π].
pour k non nul ça donne
r = e^{(kπ-t*cos(t))/sin(t)}
Evidemment il faut rajouter la branche triviale z \in \R_+ à l'ensemble des solutions.
Pour k=-2,-1,0,1,2 ça donne les 5 branches suivantes :
https://i.ibb.co/gMSQ0mNF/xgrcoltex04-small.png
On ne voit pas grand chose autour de l'origine car pour k non nul on obtient tout de suite de grandes valeurs de r. En particulier on ne voit pas que la courbe rouge passe par ±i.
On peut zoomer un peu pour y voir plus clair :
https://i.ibb.co/tTQSvW4V/xgrcoltex05-small.png
On peut aussi choisir une autre définition du log, différente de la détermination principale, et choisir arg(z) dans n'importe quel intervalle de longueur 2π.
Si on se restreint à k=0 et si on trace aussi d'autres choix d'arguments on obtient d'autres branches rigolotes. Sur le graphe suivant, "+2π" signifie qu'on a choisi l'argument dans ]π,3π], et ainsi de suite pour les autres branches. On voit que toutes ces branches passent par ±i. En fait il y a une infinités de courbes, une pour chaque valeur de a en prenant l'argument dans ]a,a+2π].
https://i.ibb.co/F4c6SwQk/xgrcoltex02-small.png
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F.J.
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