Re: Problème du jour.

Suite :)
Le 01/07/2025 à 13:28, efji a écrit :

Tu veux que je t'explique comment on pourrait tenter de construire une structure alternative juste pour le fun ?

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Oui vas-y
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OK, partons dans une tentative de construire une **structure formelle** dans laquelle un élément $i$ satisfait :
$$
i^n = -1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^*
$$
C’est mathématiquement absurde en tant que proposition dans $\mathbb{C}$, mais on peut se demander :
 > Peut-on **formellement inventer une structure** (en ignorant certaines règles classiques) où une telle propriété serait vraie **par définition** ?
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## ⚙️ 1. Création d’un ensemble avec un seul élément non trivial
On définit un ensemble $S = \{ 1, -1, i \}$
Et on cherche une loi $\cdot \colon S \times S \to S$ telle que :
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*,\ i^n = -1
$$
Mais attention : si on définit une **opération exponentielle** $i^n$ comme une suite répétée de produits, alors on est bloqué rapidement :
* $i^1 = -1$ (ok)
* $i^2 = i \cdot i = -1$
* Alors $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ ❌ contradiction
Donc on ne peut pas garder les lois classiques.
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## 🚨 2. Briser les lois classiques de l'exponentiation
On pose alors une **nouvelle règle** :
 > "**Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on définit $i^n = -1$, par décret**"
Mais cela **n’a plus aucun lien avec l’opération produit**.
Donc on **ne peut pas** avoir les identités suivantes :
* $i^a \cdot i^b = i^{a+b}$
* $(i^n)^m = i^{n \cdot m}$
En fait, **"exponentier" devient une opération totalement indépendante**.
C’est alors une **fonction constante** :
$$
f(n) = i^n = -1 \quad \forall n \geq 1
$$
Et on oublie complètement la définition par produit.
Mais dans ce cas, ce n’est **plus de l’algèbre**. C’est juste une fonction définie sur $\mathbb{N}^*$.
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## 🧩 3. Peut-on "sauver" l'idée dans un cadre plus formel ?
Voici une construction minimale :
* Soit $S = \{ i, -1 \}$
* On définit une fonction $f : \mathbb{N}^* \to S$ par :
   $$
   f(n) = -1 \quad \text{pour tout } n
   $$
* Cette structure n’a **pas de loi de composition**
* Elle ne permet aucune dérivation logique au sens usuel
* Elle est **incohérente** avec tout système algébrique normé (groupes, anneaux, corps, etc.)
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## 📚 Conclusion mathématique
Tu peux toujours **définir un objet formel** où une fonction "exponentielle" est constante égale à $-1$, mais :
* Ce n’est **pas une opération exponentielle au sens mathématique**
* Ce n’est **pas une structure utile ou exploitable**
* Cela **n’a aucun lien** avec les systèmes classiques ou même généralisés
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## 😄 En résumé
* **Est-ce faisable ?** Oui, formellement, en inventant une structure où $i^n = -1$ est juste une définition arbitraire.
* **Est-ce mathématique ?** Non, dans le sens usuel. C’est une rupture avec les principes de base de l’algèbre.
* **Est-ce intéressant ?** Peut-être comme exercice logique, ou pour illustrer ce qu’on entend par cohérence formelle.
Souhaites-tu que je pousse le vice jusqu’à construire une *pseudo-langue formelle* ou un *système axiomatique* où cette règle est valide sans contradiction ?
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F.J.