[Ma solution] Quelle est la proba ?

Le 06/07/2025 à 21:25, Samuel Devulder a écrit :

Vu qu'en ce moment on parle n'importe comment des racines de polynômes
de degré deux, je pose une question sérieuse dont je viens de voir la
réponse sur YT: [ROT13] uggcf://jjj.lbhghor.pbz/jngpu?i=5-gPEDQufo4
(trichez pas hein!)
 
<<Soit un M>=0 un réel donné. Quelle est la probabilité que les racines
de module <= M de x²+bx+c soient réelles ?>>

Je ne redis pas tout ce qui a été déjà dit dans les discussions
précédentes. Voici l'espace des solutions avec b en abscisse et
c en ordonnée : <https://i.goopics.net/dyykd2.png>.

Sur cette figure, les équations donnant deux racines complexes
sont au dessus de la parabole d'équation c=b²/4 tandis que celles
donnant deux racines réelles sont en dessous.

Sauf erreur de ma part, celles donnant exactement deux racines de
module inférieur à M sont représentées par le triangle du milieu :
racines complexes dans la zone en violet clair, racines réelles
dans la zone en bleu clair.

On a deux racines complexes de module supérieur à M dans la zone
en violet foncé, et deux racines réelles de module supérieur à M
dans les trois zones en rouge.

Quand à tout le reste de la figure (en blanc), ce sont les cas
où il y a deux racines réelles, l'une de module plus grand que M
et l'autre de module plus petit que M.

On calcule facilement que la zone en violet clair a une aire égale
à 8M³/3 tandis que la zone en bleu clair a une aire égale à 4M³/3.
Par conséquent, sur l'ensemble des équations ayant deux racines
de module plus petit qu'un nombre positif donné, ces racines sont
complexes dans deux cas sur trois et réelles dans un cas sur trois.

Cordialement,
--
Olivier Miakinen