Re: De la religiosité en mathématique

Le 09/09/2021 à 08:25, Samuel DEVULDER a écrit :

Le 08/09/2021 à 22:29, Richard Hachel a écrit :

Quelles réponses?
J'ai demandé si, précisément, les personnes d'ici entendaient clairement la notion d'infinitésimal, et si, ce faisant, ils pouvaient m'expliquer clairement ce qu'ils concevaient eux, en leur esprit.

 Tu as eu une réponse il me semble:
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| Le 05/09/2021 à 23:44, Samuel DEVULDER a écrit :
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| En physicien si. Le produit "ab" est un infinitésimal plus petit que Ab
| ou Ba. Exemple si A=B=1 et a=b=1e-3, alors ab=1e-6 << 1, et donc Δ ~ Ab
| + Ba en première approximation.
|
| En mathématicien aussi cela se justifie très bien: si a = o(b), alors ab
| = o(b²) et donc  Δ = Ab + Ba + o(b²), c'est probablement cela que Newton
| a fait sans utiliser les notations de Landau qui n'apparaitrons que bien
| plus tard.
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 sam.

 Merci de cette réponse avec laquelle je ne suis pas d'accord, évidemment.  C'est sur la question "mathématicien" que je tique.  Je précise tout de suite que c'est sur l'idée que je tique, et non pas sur Samuel DEVULDER.
 Je suis un esprit supérieur, ne l'oublions pas. Chose rare, surtout ici, je m'attaque aux idées.
 Je pose, facilement que l'incrément Δ dans la fluxion de S vers S2 sera comme Δ = Ab + Ba + ab
 Il suffit à un enfant de dessiner les petits rectangles S1 et S2, en posant (on peut prendre un carré)
 par exemple A=B=3 et a=b=2 pour se rendre compte que ça marche si l'on fait une application numérique.  On peut alors essayer avec quantités d'applications numériques, on verra que ça marche toujours, et que l'équation est valable.  Ceux qui doutent de cette affirmation n'ont qu'à prendre quelques instants, et tester par eux mêmes  pour en avoir la complète conviction.  Allons plus loin.
 Posons-nous le problème de ce qui se passerait, si on multipliait les surfaces par 2, ou les incréments par 2, ou les côtés par 2.  La formule marche évidemment toujours. Pour tout.  Multiplions alors par 100, par 1000, par 10^9, et donnons toutes les valeurs très grandes que nous imaginons ; ou divisons par 100, par 1000, par 10^9 les valeurs données de A de B, de a ou de b, et
tout cela comme on le voudra, rien n'y fait.
 Toujours, si les résultats fluctuent, l'équation reste intacte, Δ=Ab+aB+ab.
 Jusqu'ici, le lecteur honnête ne trouvera, je pense, rien à redire.  Maintenant, certains mathématiciens semble penser, on ne sait pourquoi, qu'à un certain moment,
 parce a et b  sont choisis très petits, c'est à dire infinitésimaux, l'équation change.  Et qu'on a le droit de poser Δ=Ab+aB et ab=0.
 Or, si l'on veut garder la rigueur et la beauté des mathématiques, puisque le beau est la splendeur du vrai en mathématique aussi, il faut garder l'équation universelle et juste, quitte, ensuite, à proposer
 qu'en physique, on peut négliger une valeur ab très petite voire infinitésimale (encore que ce terme
 est ambigu puisqu'une valeur infinitésimale ne représente rien de tangible, mais seulement ne idée abstraite d'une valeur qui tend infiniment vers rien sans jamais être rien).  Maintenant, il faut parler de la bourde mathématique de Newton, car il s'agit, en effet d'une bourde (et là ça va être très dur à avaler car la couleuvre est grosse). Pourtant on est dans la bourde mathématique caractérisée, car Newton part du premier rectangle (ou carré) S1 que nous avons dessiné, et occulte complétement le rectangle S2 (surface finale) dans sa démonstration.
 C'est quand même fâcheux - et surtout quand l'esprit se noie dans des concepts infinitésimaux - d'appliquer
 une méthodologie étrange, basée seulement sur S1, produit (ou surface) auquel on retranche l'infinitésimal  a/2 (et/ou) l'infinitésimal b/2 pour produire une surface plus petite qui n'a rien à voir avec le problème
 initialement posé, qui est la fluctuation de la surface S1 en surface S2.  L'idée de départ de Newton n'est pas mauvaise, il veut couper l'incrément Δ en deux demi-incréments.  Mais le problème, et c'est là qu'est sa bourde incompréhensible, bourde qui le conduit à une équation fausse, ne serait-ce que macroscopiquement (essayez avec des valeurs traditionnelles), mais aussi si l'on introduit des valeurs très petites, ou infinitésimales, c'est qu'il utilise un demi-incrément hors propos.  On a beau tourner le problème comme on veut, le demi-incrément donné par la différence S1-[(A-a/2)(B-b/2)]
n'a rien à voir avec le problème réellement posé.  C'est là qu'est l'erreur, purement mathématique (et là c'est grave), de Newton.  Je pense que le lecteur attentif a compris.
 Maintenant, pourquoi pas, divisons par deux l'incrément Δ en deux demi-incréments. Mais faisons-le de façon correcte, et non pas comme
 le fait Newton, ce qui va le conduire à une équation fausse d'EMBLEE, et non pas fausse, comme le dit Berkeley, parce que la surface ab n'est rien.  Entre S1 et S2, il faut choisir le rectangle S'=(A+a/2)(B+b/2) et visualiser alors les deux demi-incréments.  On a alors, en prenant l'idée de Newton, mais en l'appliquant correctement :  Δ = [S2-S']+[S'-S]
 Avec S1=AB , S'=(A+a/2)(B+b/2) , S2=[(A+a/2)+a/2][(B+b/2)+b/2]
 On obtient alors, quoi qu'on fasse le même résultat qui sera Δ=Ab+aB+ab
 Bref, l'équation de Newton, issue d'un raisonnement faux, n'a même pas sa raison d'être.
 On n'a PAS le droit d'écrire, en bonnes mathématiques, Δ=Ab+aB. Infinitésimaux ou pas.  C'est une équation incorrecte.  Et ce qui n'a pas sa raison d'être ne doit pas être discuter comme possiblement vrai, même en y ajoutant des idées infinitésimales.
 Le problème n'était pas là.  Comprenez-vous ces choses?  R.H.