Re: Calculer...

Le 09/07/2023 à 13:50, Olivier Miakinen a écrit :

Pourquoi avoir éliminé à priori les valeurs négatives et les valeurs
non-entières ? Tu as une preuve qu'aucune d'entre elles ne peut convenir ?

Non, j'ai pensé que la question demandait des solutions dans N, c'est assez classique. Pour prouver qu'il n'y a pas d'autre solution, d'abord
a^b > b^a donc log(a)/a > log(b)/b. On trace le graphe de log(x)/x de x=1 à l'infini. Ca croit de 0 à un max pour x=e puis décroît vers 0.
On a vite fait d'analyser ce qui se passe pour a=1 et a=2, puis pour
a>=3 on a forcément a <= b . On graphe 3^b -b^3 pour b  >= 3 on trouve 17 pour b=4 et pour b >= 5 c'est déjà très grand. Pour 4^b-b^4 c'est déjà >= 400 pour b >=5 donc il n'y a pas d'autre solution. Si on tolère
des solutions dans Z il faut regarder la parité de a et b etc. Si par exemple a et b sont pairs et on cherche une solution avec a et b négatifs, on se remplace a et b par -a et -b avec a et b positifs et on obtient 1/a^b -1/b^a = 17 ce qui ne risque pas de marcher, etc.
En tout cas  maxima nous donne ceci:
(%i2) for x from -50 thru 50 do for y from -50 thru 50 do if  not x=0 and not y=0 and x^y-y^x=17 then print(x,y);
1 - 16
3 4
18 1
donc on trouve une nouvelle solution qui marche par le même mécanisme que (18,1), et il n'y a évidemment rien d'autre.
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Michel Talon