Re: Problème du jour.

Le 01/07/2025 à 01:09, Richard Hachel a écrit :

 La question reste invariablement : qu'est ce qu'une racine réelle?

Les nombres du plan complexe du type (machine + 0*i), note bien le 0*i, il n'y aucune composante dans la direction de l'axe des "i". On peut les mapper de façon bijective sur le réel "machine".
Les autres du type (0 + bidule*i) sont dit "imaginaires pur".
Enfin les (machine + bidule*i) avec machine et bidule non nuls sont juste des nombres du plan complexe.
Les objets de type (a + b*i) se manipulent ainsi:
pour tout a,b,c,d réels
i) c*(a+b*i) = (c*a) + (c*b)*i
ii) (a+b*i) + (c+d*i) = (a+c) + (b+d)*i
iii) (a+b*i) * (c+d*i) = (ac-bd) + (ad + bc)*i
A noter:
a) avec c=-1 dans le point i) on peut définir l'opposé d'un tel nombre, et via le point ii) additionner un nombre à son opposé revient à déduire la notion de soustraction.
b) si c=a et d=-b (on appelle cela le conjugué), il vient (a+b*i) * (a - b*i) = (a*a + b*b) + 0*i, un nombre sans partie imaginaire. Oui un réel.
S'il est non nul, en posant c=a/(a*a + b*b) et d=-b/(a*a + b*b) dans le point iii), on montre que tous les nombrer non nuls dans le plan complexe ont un inverse. Combiné à nouveau au point iii) on définit la division.
Whaaa on a les mêmes opérations que pour les réels, c'est magique! Et mieux encore sur les nombres (machine + 0*i) les opérations coïncident.
Hasard ? Décision arbitraire ? non je ne crois pas. Mais pour comprendre cela il faut avoir un peu étudié.

les concepts sont d'une infinie facilité.

Je confirme... mais méfions nous de l'usage d'un terme comme "d'une infinie"..
On a montré qu'il existe une multitude (discrète cependant) d'infinis. Donc parler d'une au singulier est un peu risqué. De quel infini parles-tu là ? Card(N) ou Card(R) ou d'un truc entre les deux, genre card(CH) ?
Hein ! C'est quoi ça CH ? C'est la connerie-humaine constituée d'un peu de réel (R) et beaucoup de haine (N)... Expérimentalement on a trouvé chez certains spécimen que la partie réelle était plus que discrète alors que la partie haine était très dense, alors que topologiquement cela devrait être l'inverse.
Source:
[ENSTEIN] <https://tinyurl.com/p7xd68ad>