Re: Racines multiples

Le 20/05/2025 à 17:03, Python a écrit :

Le 20/05/2025 à 16:52, Julien Arlandis a écrit :

Le 20/05/2025 à 16:40, Python a écrit :

Le 20/05/2025 à 16:29, Julien Arlandis a écrit :

Le 20/05/2025 à 15:09, Python a écrit :

Le 20/05/2025 à 15:00, Michel Talon a écrit :

5) toujours en vertu de la même règle :
exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1

 Même réponse que 4.

 Pour clarifier : exp(2iπ) = 1 mais exp(4iπ)^(1/2) a deux valeur car z->z^(1/2) est multivaluée, et l'une de ces valeurs est bien 1.

 Pour tant à la réponse 2 tu as répondu que a^b est univoque dans le cas a = e.

 Ce n'est pas ça ta question 2 :  Question 2) le résultat de exp(x*y) est univoque ; réponse le résultat de exp(x*y) est univoque

 C'est exactement la question 2 si a = e et qu'on note b = x*y.
 

Mais si a = exp(4iπ) et b = 1/2 ça ne marche plus ? ? ?

 C'est une autre question (la 1) :
 [exp(x)]^y est-il univoque ? Réponse : en général non.
 

Quand tu dis que z->z^(1/2) est multivaluée, est ce le cas pour toutes les valeurs de z et en particulier que vaut e^(1/2) ?

 exp() est totalement univoque, que son expression en z soit notée exp(z) ou e^z, et e^(1/2) = exp(1/2) ~= 1.6487 dans ce sens.

 D'accord
 

La fonction z^(1/2) = exp(1/2*Log(z)) est multivaluée, y compris en e, de valeurs +/- sqrt(e)

 log(e) fournit bien une seule sortie, dans ce cas comment exp(1/2*Log(e)) pourrait être multivaluée ?

 Dans R oui, pas dans C. Log(e) = ln(e) + 2*i*pi*k
 (j'ai volontaire utilisé "ln" pour le logarithme népérien sur R)
 

Tu joues sur les notations, certes potentiellement ambiguës. Mais je n'ai jamais rencontré de situation où l'on ne sait pas très bien de quoi on parle : la fonction exp ou bien les valeurs de z->z^(1/2) (ou même z^w) en z = e.

 Je vois pas où est l'ambiguïté. exp(1/2) et e^(1/2) c'est bien la même chose ?

 e^(1/2) peut dénoter deux choses différentes (même si il faut vraiment le faire exprès pour s'y tromper) : exp(1/2) qui n'a qu'une seule valeur, et les valeurs de z->z^(1/2) pour z=e (parmi lesquels on retrouve exp(1/2)).

Donc si je résume :
exp(1/2) ≃ 1.6487
e^(1/2) ≃ {1.6487, -1.6487}
Tu valides ?