Re: Racines multiples

Le 20/05/2025 à 12:57, Python a écrit :

Le 20/05/2025 à 09:21, Julien Arlandis a écrit :

Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :

Le 17/05/2025 à 16:18, Julien Arlandis a écrit :

Le 17/05/2025 à 12:38, Python a écrit :

[correction d'une erreur à la fin]
 Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :

...

si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)

 Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais difficile à justifier.

 Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
 Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce terme a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une intégrale, par exemple, et b une somme de série).
 Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute identité, inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle manipulation.

 Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que exp(x)^y = exp(x*y)
et en même temps que exp(4iπ*1/2) = 1 = exp(2iπ*1/2) = -1
Pour le moment personne n'a apporté de réponse claire et intelligible.

 Comment ça "sauf" ? ?  Ça n'a rien à voir avec ton post ni avec ma réponse. Ni avec ta contestation, assez sidérante, que a = b => f(a) = f(b) est faux ou que des valeurs égales sont différentes.
 Et tu zappes toute la partie où j'explique que la notion de n-ième décimale d'un réel n'est pas une notion univoque, en général, et que l'argument sur la 1ère décimale de 1 et 0.999... ne tient pas une seconde (je prépare un pdf sur cet argument qui m'avait interpelé à l'époque de "Joe Cool" alias Zaroueli qui utilisait le même).

 Je reprendrai cette partie plus tard, mais avant je voudrais éclaircir ma question initiale. Je reprends point par point.

 Sur ce point la question est pliée et j'ai indiqué tous les détails (à une ou deux fautes évidente de typo). En résumé : pour certains nombres réels x (i.e. une classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels) il existe deux représentants distincts (deux suites de rationnels) qui correspondent au concept de "décimales de x" et donc l'expression "la première décimale de x" ne décrit pas toujours une valeur univoque.
 

Es tu d'accord que (réponse par OUI/NON + arguments) : 1) exp(x)^y = exp(x*y)

 [exp(x)]^y = e^(y⋅log(exp(x))) = ...
 -> attention log(exp(x)) n'est x que sur une branche du log, en général : log(exp(x)) = x+2iπk, donc :
 ... = e^(y(x+2iπk))=e^(xy)⋅e^(2iπky)
 Donc non, sauf si y \in Z ou si on choisit la branche k=0 du logarithme

Une idée en passant. Ne pourrait on pas construire un ensemble plus large que les complexes (on va l'appeler P) où chaque complexe se verrait attribuer une phase qui pourrait prendre ses valeurs dans R.
Par convention, quand la phase n'est pas explicitée elle vaut 0 et l'argument spécifié dans la forme polaire sinon.
Par exemple dans P, 1 = exp(i*0) ≠ exp(2iπ).
Cela permet de définir la fonction log dans P définie pour tout z dans P de façon univoque
comme P(z) = ln(ρ) + i.θ avec z = ρ.e^(i.θ).
À vérifier rigoureusement, mais dans ce cas on devrait avoir pour tout nombre z dans P et x, y dans C l'égalité (z^x)^y = z^(x*y).
La multiplication aurait les mêmes propriétés que dans C, par contre comment pourrait on définir l'addition de deux complexes z1 et z2 qui seraient égaux dans C mais pas dans P ?
Par exemple que vaudrait z = 1 + exp(2iπ) ?