Re: Racines d'une équation quadratique

Le 05/03/2025 à 16:58, Python a écrit :

Le 05/03/2025 à 16:42, Richard Hachel a écrit :

Les racines d'une équation quadratiques se donnent comme suit selon que le discriminant b²-4ac soit positif, nul ou négatif.
 S'il est positif, deux racines réelles.
 S'il est nul, une racine double.
 S'il est négatif, deux racines complexes.  <http://nemoweb.net/jntp?YaP9REY59ppVSCBnOoJIenV37Bs@jntp/Data.Media:1>
 

 Dans C, corps des nombres complexes, oui.
 Dans R(j), qui est la structure où la règle pour la multiplication est aa' + bb' pour la partie réelle, qui me semblait-il, avait ta préférence, c'est faux. Par exemple le l'équation x^2 - 1 = 0 y a quatre solutions.

On progresse.
Maintenant, qu'est ce que les racines complexes de la courbe f(x)=x²+4x+5? Une racine est la solution pour y=0. C'est à dire, l'endroit (ou les endroits) où ma courbe croise l'axe x'Ox sur ma représentation cartésienne. Je rappelle que lorsque je trace ma courbe f(x), il n'y a pas de racines réelles. Pour mieux dire, la réalité des choses me montre qu'on ne trouvera jamais, réellement, de racines.
Alors on peut quand même rechercher des racines, mais ce ne seront pas celles de f(x).
On va alors imaginer une sorte de courbe miroir, courbe qui elle, va traverser x'Ox, et cette courbe, nous ne l'appelons plus f(x) mais g(x). De telle sorte que les deux racines réelles de g(x) correspondent aux racines complexes de f(x).
Le problème : comment créer cette courbe? Il semble que pour toutes les équations possibles et imaginables, par exemple f(x)=sqrt(x)+2, la courbe conjointe à utiliser soit toujours celle qui est centré sur le point central x=0, qui va être le centre de symétrie du système.
Je te laisse le soin de dire ça mieux que moi, si tu veux.
Tout cela marche remarquablement, sauf que, hormis pour les équations quadratiques, les racines complexes données par les mathématiciens semblent être systématiquement "du n'importe quoi placé n'importe où".
L'accusation de 'n'importe quoi placé n'importe où est grave". Il va de soi qu'en disant de telles choses, on ne se fait pas aimer.
Pourtant, la façon dont on retrouve les racines complexes est bien plus claires, simple et juste. Prenons f(x)=sqrt(x)+2, on a, par g(x) fonction symétrique basées sur $(0,2) (j'aime bien écrire $, qui est le point de symétrie), la solution x=4i. Soit le point A(4i,0).
On va dire, comme toi tout à l'heure, pourquoi écrire 4i, et pas simplement -4? Pour bien faire comprendre que ce n'est pas la racine réelle de f(x), mais sa racine complexe. La racine complexe de f(x) est A(4i,0) ; la racine réelle de g(x) est A(-4,0).
C'est à la fois très simple, et très pratique, et autre chose que cet embrouillamini de racines placées sur les diagramme et où plus personne ne comprend rien. Une fois ceci réalisé, et bien entré dans les esprits, c'est à dire comment trouver les bonnes racines complexes, et comment les placer simp^lement sur un diagramme cartésien, on va plus loin.
Comment additionner des racines et des complexes (très facile).
Comment réaliser des produits, pourquoi, comment, avec quel utilité et quelle cohérence théorique et expérimentale?
R.H.