Re: Domaine de définition

Le 11/11/2024 à 21:57, Olivier Miakinen a écrit :

Le 11/11/2024 20:56, Julien Arlandis a écrit :

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Les fonctions f(x) = 3x et g(x) = 3/(1/x) ont elles le même domaine de définition ?
g(0) est il défini ?

 Non et non. La fonction g n'est pas définie en 0, mais elle peut y être
prolongée par continuité.
 Un autre exemple : f(x) = x+2 et g(x) = (x²−4)/(x−2)

 Peut on dire que la fonction 1/(1/0*x) définie nulle part peut être prolongée partout ?

 Haha, excellent !
 1) Réponse sérieuse
 Une fonction peut être prolongée par continuité en un point si elle
est définie et continue dans un voisinage de ce point. Qui plus est,
si elle est définie et continue à la fois à gauche et à droite du
point, il faut que la limite à gauche soit égale à la limite à droite
pour en faire une fonction qui soit aussi continue en ce point.
 Une fonction qui n'est définie nulle part ne peut évidemment être
prolongée par continuité en aucun point.
 2) Réponse fantaisiste
 Si tu veux, tu peux dire que la fonction 1/(1/0*x), définie nulle part,
peut être prolongée (mais pas par continuité bien sûr) vers la fonction
que tu veux, mettons par exemple g(x) = exp(x) ou g(x) = ⌊x + √(x²+1)⌋.

Pourtant la fonction la fonction f(x)=1/(1/a*x) peut être prolongée en a*x en 0 pour tout a ≠ 0, donc d'après ce prolongement f(0)=1/(1/a*0)=a*0=f(a)