Re: Domaine de définition

Le 13/11/2024 à 23:35, efji a écrit :

Le 13/11/2024 à 23:08, Michel Talon a écrit :

Le 13/11/2024 à 12:47, efji a écrit :

Le 13/11/2024 à 12:30, Olivier Miakinen a écrit :

C'est évidemment absurde, et la raison de cette absurdité est que l'on ne peut
pas faire une limite de fonctions comme on fait une limite de réels. Et tu as
le même genre de problème quand tu essayes de faire tendre a vers 0 dans ta
définition de fₐ(x) = 1/(1/(a*x)) : tu ne calcules pas une limite de nombres
réels, tu cherches une limite de fonctions.

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La notion de limite est liée à la notion de topologie.
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Sur R, qui est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et la topologie "naturelle" permet de définir la notion de limite.
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Dans les espaces de fonctions, qui sont de dimension infinie, toutes les normes ne sont pas équivalentes et donc on peut définir tout un tas de topologies différentes qui vont donner des notions de limites différentes. Cela n'a aucun sens de dire "f_n tend vers f" si on ne précise pas pour quelle norme. Par exemple la convergence ponctuelle :
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sup(|f_n(x)-f(x)|) -> 0
>
est très différente de la convergence en norme L2 :
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\int |f_n(x)-f(x)|^2 dx -> 0
>
Bref, tout ceci est assez compliqué et très peu intuitif pour le commun des mortels :)
>

 On peut aussi regarder ça d'un point de vue purement algébrique: un polynôme
est une suite (a_0,...,a_n) qu'on note conventionnellement
a_0+a_1*X+...+a_n*X^n  , mais il ne faut en aucun cas prendre X pour un nombre.
De même une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Il y a des règles de calcul pour manipuler ces objets, et en particulier 1/ (1/(a*X))=a*X dans
ce corps des fractions rationnelles.  Ensuite il y a la notion de fonction polynôme
ou de fonction rationnelle, qui est définie par la procédure d'évaluation qui consiste à remplacer le symbole X par un nombre x. Évidemment il y a alors un
domaine de définition qui est l'ensemble des nombres qui ne sont pas zéros du dénominateur.  Dans le cas d'espèce l'évaluation de a*X donne a*x, pas de dénominateur, donc le domaine de définition est R tout entier. Pas besoin de notion de continuité pour obtenir ce résultat dans ce contexte. D'ailleurs toutes ces considérations se généralisent à des corps de base qui ne sont pas R ou C et dans lesquels il n'y a pas de topologie prédéfinie.

 La différence entre un algébriste et un analyste :)
Deux mondes disjoints...

Heureusement que non ! Ça s'appelle les mathématiques. La convergence entre la vision analytique et géométrique est un des plus gros progrès des maths au XXème siècle (Klein, Schwartz, Grothendieck).
Pourquoi parlez-avec tant de désinvolture de sujets que vous n'avez pas étudiés ? (je le dis sans animosité, ne vous vexez pas, ne me faites pas une "robby"). De même pour votre remarque sur les informaticiens avec leur notation (pour vous délirante) qui est.. le travail d'un mathématicien polonais, d'où les expression de notations "polonaise" ou "polonaise inversée". Michel Talon vous a décrit en quoi votre remarque était pathétique.
Pourquoi ne voulez-vous jamais sortir de votre zone de confort ?