Etrangeté, Pythonisme, et imaginaires.

 Le grand mathématicien Jean-Pierre Python pose une objection fort intéressante, qu'il n'a apparemment pas résolue ; et s'il ne l'a pas résolu, il est très douteux que d'autres aient pu le faire.
 La question de Jean-Pierre était :
 "Si nous posons la fonction f(x)=x², et que nous joignons l'idée que i=-1, alors il vient que
f(-1)=1 et f(i)=i²=-1. Ce qui est contradictoire".
 Il y a donc là, pour Jean-Pierre, une difficulté insurmontable, et qu'il ne peut surmonter.  Le problème est dans la définition des choses.  Le problème est : "De quoi parle-t-on?"
 Ici, nous parlons de l'adjonction d'une courbe imaginaire g(x) à tout tracé f(x).  Et cette fonction nouvelle, va donner à f(x) une composante miroir f(i).  Le tracé de f(i) ne sera plus celui de f(x), mais celui de g(x) ; et les racines de f(i), c'est à dire de la courbe imaginaire, ne seront plus les racines de f(x) mais les racines de f(i).
 Cela n'est pas simple à expliquer, mais peut-être qu'un petit exemple y parviendra.
 On prend la fonction quadratique assez simple f(x)=x²+4x+5 choisie spécialement pour ne pas avoir de racines réelles, et on cherche alors ses deux racines complexes.
 Premier problème : qu'est ce qu'une racine complexe puisqu'à l'évidence la courbe n'a pas, et n'aura JAMAIS de racines?  Chez Hachel, mathématicien de génie, luminaire céleste parmi les hommes, on va procéder à une rotation forcée de la courbe f(x) de 180° sur le point $(0,y₀) pour obtenir une autre courbe g(x), et nous allons prendre les racines réelles de cette courbe, pour en faire les racines complexes de la fonction originale.
 Et cela marche.
 Dans le cas de polynômes, il suffit de prendre les monômes de puissance paire, et de changer le signe du monôme.
 Ainsi f(x)=x⁶+2x⁵+3x⁴+x³+2x²+x+3 devient g(x)=-x⁶+2x⁵-3x⁴+x³-2x²+x+3  On cherche alors les racines réelles de g(x), et en transposant, on a celles, complexes, de f(x) ; et inversement.  On en revient à f(x)=x²+4x+5 et donc à g(x)=-x²+4x+5 qui donne x'=-1 et x"=5.
 Soit, transposé pour f(x), x'=i et x"=-5i (attention au changement de signe, puisque les i développent de droite à gauche sur l'axe x'Ox).  Vérification pour x'=i.
 f(x)=x²+4x+5 ---> (i)²+4(i)+5= -1-4+5 = 0
 Vérification pour x"=-5i
 f(x)=x²+4x+5 ---> (-5i)²+4(-5i)+5= 25(-i)²+20(-i)+5 = 0   (Attention, -i=1)
 C'est une façon très élégante et simple de traiter des racines complexes.  De plus, c'est concret et visuel, puisqu'on peut les placer facilement sur les repères cartésiens (O,x,y) sans avoir recours à l'adjonction d'une repère de Gauss-Argand, ou de notation ridicules où des point racines peuvent se trouver partout, sauf sur le bi-axe x'Ox-i'Oi.
 Ces choses étant dites, il va nous falloir maintenant nous attaquer au repère de Gauss-Argand, qui n'a rien à voir avec ce que nous venons de dire, et qui parle "d'autre chose", repère de Gauss-Argand qui aura son utilité en électricité et en électromagnétisme, mais donc le mariage forcé avec un repère cartésien est quelque chose d'artificiel, voire de faux, puisque les racines énoncées ne sont pas des racines cartésiennes correctes par ce principe-là. Les racines complexes de l'équation f(x)=x²+4x+5 ne sont pas x=-2(+/-)i et ne l'ont jamais été.
Ni de près ni de loin.
Et même s'il me fallait adopter cette écriture (mais j'en vois pas l'intérêt ici), je noterai : x=2(+/-)3i ce qui, en terme d'imaginaire pur, donne i et -5i. Je rappelle comment il faut rechercher les racines des fonction quadratiques dans le fichier suivant :
<http://nemoweb.net/jntp?UZFHJ61VdlGekD5_XroXzTi5NOo@jntp/Data.Media:1>
On voit que si les choses sont simples pour les racines réelles, il existe un problème chez les mathématiciens
pour donner les racines complexes. Je vous remercie de votre attention.
R.H.