Re: Biaiser les probabilités

Le 28/01/2024 à 17:18, Julien Arlandis a écrit :

Le 28/01/2024 à 17:08, efji a écrit :

Le 28/01/2024 à 13:59, Julien Arlandis a écrit :

Le 28/01/2024 à 13:49, efji a écrit :

Le 28/01/2024 à 12:58, Julien Arlandis a écrit :

Le 28/01/2024 à 12:55, efji a écrit :

Le 28/01/2024 à 12:49, Julien Arlandis a écrit :

Le 28/01/2024 à 12:42, efji a écrit :

Le 28/01/2024 à 11:11, Julien Arlandis a écrit :

Bonjour,
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Vous disposiez d'un ticket composé de N cases à gratter, chaque case représente soit un gain soit une perte avec une probabilité de 1/2. Le jeu consiste à miser sur n'importe quelle case non grattée et pour faire votre choix vous avez la possibilité de gratter autant de cases que vous le désirez (dans la limite de N-1 sinon vous ne pouvez plus jouer).
La question est la suivante : existe t-il une stratégie qui permette de gagner avec une probabilité strictement supérieure à 1/2 ?

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Je ne pense pas.
Si vous faites P tirages préliminaires vous allez avoir en moyenne P/2 cases gagnantes et P/2 cases perdantes, donc vous retombez sur le problème précédent avec N-P cases.

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Vous pouvez par exemple prolonger les tirages préliminaires jusqu'à observer une légère dissymétrie entre les gains et les pertes, cette dissymétrie ne devrait elle pas se reporter sur les N-P cases restantes ? Par ailleurs une dissymétrie apparait nécessairement pour tous les P impairs.
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Oui mais cette dissymétrie est symétrique :)
Vous avez autant de chance qu'elle soit du bon côté que du mauvais, donc on ne peut pas l'utiliser pour construire une stratégie.

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Vous pouvez continuer de gratter tant que la dissymétrie n'est pas à votre avantage, et vous arrêter dès qu'il y a davantage de pertes que de gains.

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Oui en effet, sauf qu'il y a une probabilité non nulle que ça n'arrive jamais,

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Oui.
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et finalement, en moyenne, cette "stratégie" a exactement la même probabilité de gain que pas de stratégie.

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Quel est le lien logique avec ce qui précède ? Pouvez vous le démontrer ?

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Je l'ai démontré dès ma première réponse!
Oublions qu'on est dans un espace discret avec des entiers pairs et impairs car cela n'a aucun intérêt. Disons que N est suffisamment grand pour que N/2 et (N+1)/2 soient comparables.
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Après P<N tirages vous avez une probabilité de 0.5 d'avoir tiré plus de P/2 cases gagnantes et 0.5 d'avoir tiré moins de P/2 cases gagnantes, donc une chance sur 2 qu'il reste plus de gagnantes que de perdantes dans les N-P cases restantes et une chance sur 2 qu'il en reste moins, et donc on retombe sur le problème de départ sans avoir rien gagné (ni perdu).

 En négligeant N et N+1 vous négligez surtout la solution. Pour fixer les choses considérons que N = 50, et je fixe pour stratégie de gratter autant de cases que nécessaire pour obtenir plus de pertes que de gains, si au bout de 49 grattages je n'obtiens toujours pas l'avantage je tente ma chance en misant la dernière case.
Sous cette stratégie la probabilité de victoire est elle supérieure à 1/2 ? Et si oui combien vaut elle ?

 Gratter 49 cases dans un jeu à 50 est assez idiot (et interdit par les règles que vous avez vous même écrites....).
Voyons les choses autrement : tout est symétrique dans ce problème, donc il n'y a aucune chance de pouvoir faire tomber le balancier plus probablement d'un côté que de l'autre !
 On suppose évidemment N pair. Quel que soit P<N et quels que soient P1+P2=P, la probabilité après P tirages d'avoir découvert P1 gagnants et P2 perdants et la même que la probabilité d'avoir découvert P1 perdants et P2 gagnant. Donc la découverte de P cases ne peut donner l'avantage à aucun des deux.
 Si vous n'êtes pas convaincu et si ça vous amuse, vous pouvez écrire tous les cas possibles avec N=4 par exemple, et P=1 et P=2. La symétrie va vous sauter aux yeux.