Re: Racines multiples

[correction d'une erreur à la fin]
Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :

..

si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)

 Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais difficile à justifier.

Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce terme a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une intégrale, par exemple, et b une somme de série).
Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute identité, inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle manipulation.

Considérons la fonction f_n(x) qui renvoie la nième décimale de x.
a = 1
b = 0.999...
On a bien a=b mais f_1(a)=0 et f_1(b)=9
 Alors certes tu vas me dire que les expresssions "1" et "0.999..." ne sont que des représentations du nombre 1 mais comment fais tu pour distinguer ici l’élément de sa représentation ?
Pour moi le nombre 1 en tant qu’élément abstrait n’existe que par sa représentation et de ce fait j’ai du mal à considérer que 0.999... = 1.

Tu nous fais une Joe Cool là :-)
Je vais répondre de façon bien plus précise et rigoureuse qu'un "ce sont les représentations du nombre 1" en partant d'une des constructions, équivalentes, de l'ensemble des nombres réels :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els
Je ne vais pas, volontairement, prendre celle basée sur les décimales, ce serait trop facile et un peu ad hoc, vu que les terminaisons infinies de 9 y sont traités à part (pour de bonne raisons).
Je vais choisir la construction de Cauchy, j'aurais pu prendre les coupures de Dedekind.
Un nombre réel x est une classe d'équivalence (un ensemble) de suites de nombres rationnels (u_n) qui vérifient le critère de Cauchy : lim_{p,q->inf} | u_p  - u_q | = 0
Deux suites sont dans la même classe si leur différence tend vers 0.
Quand tu définis f_1 par "la 1ère décimale de x" (ou f_n pour "la n-ième décimale de x") tu fais une supposition en utilisant le singulier et tu ne définis PAS comment tu obtiens cette décimale à partir d'un nombre réel, c'est-à-dire d'une classe d'équivalence de suite de rationnels, ce que je vais faire ci-dessous, et pas seulement pour f_1 mais pour f_n (la n-ième décimale d'un nombre réel) :
Si dans une classe de Cauchy C il existe une suite de la forme :
( N, N + f_1/10^1, N + f_1/10^1 + f_2/10^2, N + f_1/10^1 + f_2/10^2 + f_3/10^3, ...)
Où f_k est dans {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et N est un entier.
Cette suite est la suite des sommes partielles de la série N + Somme_n [ f_n/10^n ], intuitivement elle "converge" vers le nombre réel concerné.
Alors on peut dire que la suite f_n est *une* suite de décimales de la partie fractionnaire du nombre x.
Là on a une définition rigoureuse de ce qu'est une décimale, on voit que c'est tiré d'une séquence particulière de rationnels.
Je dis "une" parce que je n'ai pas démontré qu'il n'existe systématiquement qu'une seule suite de rationnels de cette forme dans la classe x. De fait ce n'est pas le cas. Il peut y en avoir 2 dans des cas particuliers, justement pour celle que l'on dénote par le symbole "1" :
La suite des somme partielles de la série S = 1 + 0/10^1 + 0/10^2 + 0/10^3 + ... est dans une certaine classe x (la suite de Cauchy de rationnels est (1, 1, 1, 1, ...) et f_k = 0 pour tout k>0
Mais il y en a une autre de la même forme : les sommes partielles de la série S' = 0 + 9/10^1 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... est aussi membre de la classe de Cauchy x ci-dessus, la suite étant (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) et elle correspond à f_k = 9 pour tout k>0. C'est facile à montrer : la suite des valeurs absolues des différences terme à terme (i.e. (1, 0.1, 0.001, ...) des deux suites tend vers 0.
C'est ta définition de f_1 (et des f_k) qui est ambiguë, elle présuppose l'unicité d'une suite dans la classe de x correspondant à une représentation décimale (c'est pareil avec d'autres bases, bien entendu), unicité qui n'est pas garantie.
En réalité tout nombre rationnel qui s'exprime par une suite de décimales toutes nulles à partir d'un certain rang (i.e. il y a dans la classe de Cauchy qu'EST ce nombre une suite de la forme (N, N + f_1/10, N + f_2/10^2, ...) qui est constante à partir d'un certain rang contient AUSSI une suite similaire avec des f_k tous égaux à 9 (i.e. la base, ici 10, moins 1) à partir d'un certain rang.
Par exemple
(1, 1, 1, ...) et (0, 0.9, 0.99, ...) sont membre de la même classe de Cauchy, ce qui est la signification de 0.999... = 1
De même x = 0.567 = 0.56699999.... i.e.
   (0, 0.5, 0.56, 0.567, 0.567, 0.567, 0.567, 0.567, ...) \in x et (0, 0.5, 0.56, 0.566, 0.5669,0.56699, 0.56999, ...)    \in x aussi.
D'autres classes de Cauchy (i.e. réels) n'ont qu'une seule suite de Cauchy de cette forme comme membre : sqrt(2), 1/3, pi, etc.