Re: Réflexion sur les complexes.

Le 11/03/2025 à 15:56, efji a écrit :

Le 11/03/2025 à 14:52, Richard Hachel a écrit :

1/ si a est racine de f(x) = 0, on a bien f(a) = 0 ?
 2/ si g(x) = x*f(x), alors Hachel prétend que a "n'est pas forcément racine de g". Démonstration ?

 Pour répondre à le question de Python ; si on pose l'hypothèse que a et b appartiennent à R, alors si a=b, f(a)=f(b).
 Ce qui est vrai.
 Mais la stupidité de Python, c'est de n'avoir pas vu qu'en fait, ici, 1 appartient à R, et i appartient à Z.
 Et que ce n'est pas la même chose.  

3/ Application :
f(x) = x^2+1.
Hachel admet que i est racine (il oublie que -i l'est aussi mais passons)

 Non, non, rien de rien. Non, non, je n'oublie rien.

g(x) = x^3+x = x(x^2+1) = x*f(x) (admis par Hachel)

 Bien sûr.

Pourtant i n'est pas racine de g d'après Hachel. Explication ?

 Ben non, i n'est plus racine de g.

Démonstration (sans les délires habituels) ?

Le monde entier attend....

 Très bonne question.
 g(x)=x^3+x  g(x)=i^3+i
 g(x)=-1-1=-2  Bref, tu as bien x²+1 qui a deux racines complexes, i et -i.
 Mais si tu multiplies par x, les deux racines deviennent 0 et 0i.
 Tu oublies que nous parlons de racines imaginaires (comme Python oublie qu'il travaille avec des imaginaires).
 Qu'est ce qu'une courbe (équation si tu veux) ayant deux racines imaginaires? C'est une équation qui a pas de racines. Alors on imagine sa courbe miroir au point $(0,y₀) , qui elle, forcément en aura deux. On prend ces deux racines imaginaires, et on les colle à la première avec une étiquette i, pour bien faire comprendre que c'est pas les vraies racines (qui sont inexistantes et n'existeront jamais) mais des racines usurpées à la courbe copine.
 Comme c'est pas des racines propres, il va de soit que si tu changes la courbe, mes racines complexes
ne vont pas forcément suivre.
 Les racines réelles sont stables (comme tu le signales), mais les racines complexes ne le sont plus.
 R.H.