Re: Racines multiples

Le 20/05/2025 à 09:21, Julien Arlandis a écrit :

Le 17/05/2025 à 23:22, Python a écrit :

Le 17/05/2025 à 16:18, Julien Arlandis a écrit :

Le 17/05/2025 à 12:38, Python a écrit :

[correction d'une erreur à la fin]
 Le 17/05/2025 à 03:11, Julien Arlandis a écrit :

Le 10/05/2025 à 17:16, Python a écrit :

...

si a = b (peut importe leur nature) alors f(a) = f(b)

 Je reviens sur cette proposition qui paraît logique en première analyse mais difficile à justifier.

 Sans cette implication on ne peut plus faire ni calcul, ni démonstration.
 Imagine que tu as pu établir une certaine proposition faisant intervenir un certain terme a (qui peut être une forme quelconque. Puis tu arrives à prouver que ce terme a est égal à un terme b (syntaxiquement différent, a pourrait être une intégrale, par exemple, et b une somme de série).
 Si tu n'as pas a = b => f(a) = f(b) tu ne peux PAS substituer la forme b à a dans la proposition établie au départ. Tout calcul, toute simplification, toute identité, inégalité, etc. se démontre en utilisant à un moment ou un autre une telle manipulation.

 Sauf que je ne comprends toujours pas comment tu peux admettre que exp(x)^y = exp(x*y)
et en même temps que exp(4iπ*1/2) = 1 = exp(2iπ*1/2) = -1
Pour le moment personne n'a apporté de réponse claire et intelligible.

 Comment ça "sauf" ? ?  Ça n'a rien à voir avec ton post ni avec ma réponse. Ni avec ta contestation, assez sidérante, que a = b => f(a) = f(b) est faux ou que des valeurs égales sont différentes.
 Et tu zappes toute la partie où j'explique que la notion de n-ième décimale d'un réel n'est pas une notion univoque, en général, et que l'argument sur la 1ère décimale de 1 et 0.999... ne tient pas une seconde (je prépare un pdf sur cet argument qui m'avait interpelé à l'époque de "Joe Cool" alias Zaroueli qui utilisait le même).

 Je reprendrai cette partie plus tard, mais avant je voudrais éclaircir ma question initiale. Je reprends point par point.

Sur ce point la question est pliée et j'ai indiqué tous les détails (à une ou deux fautes évidente de typo). En résumé : pour certains nombres réels x (i.e. une classe d'équivalence de suite de Cauchy de nombres rationnels) il existe deux représentants distincts (deux suites de rationnels) qui correspondent au concept de "décimales de x" et donc l'expression "la première décimale de x" ne décrit pas toujours une valeur univoque.

Es tu d'accord que (réponse par OUI/NON + arguments) : 1) exp(x)^y = exp(x*y)

[exp(x)]^y = e^(y⋅log(exp(x))) = ...
-> attention log(exp(x)) n'est x que sur une branche du log, en général : log(exp(x)) = x+2iπk, donc :
.. = e^(y(x+2iπk))=e^(xy)⋅e^(2iπky)
Donc non, sauf si y \in Z ou si on choisit la branche k=0 du logarithme

2) le résultat de exp(x*y) est univoque

Oui. Par nature même de la définition analytique de exp : le résultat de l'évaluation de la série Sum (xy)^n/n! est unique.

3) exp(2iπ) = exp(4iπ)

Oui.

4) en vertu de la règle 1 : exp(2iπ)^(1/2) = exp(iπ) = -1

Non. C'est 1 ou -1 selon le choix de branche. Voir ci-dessus.

5) toujours en vertu de la même règle :
exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) = +1

Même réponse que 4.

6) Si a = exp(2iπ), b = exp(4iπ) et f(x) = x^(1/2) maintiens tu que :
a = b => f(a) = f(b) en même temps que exp(x)^y = exp(x*y)

f est une fonction multivaluée et elle fournit les même valeurs sur deux branches, évidemment, pour le même antécédent a = b.
Rien de tout ceci n'invalide a = b => f(a) = f(b).