Re: Définitions mathématiques portant sur Log et sur e

Le 20/05/2025 à 14:23, Python a écrit :

Le 20/05/2025 à 13:51, Richard Hachel a écrit :

  J'appelle Log x, le logarithme naturel de x.
  Log 1 = 0
  Log e = 1
  Je note la fonction exponentielle fonction simple de x : f(x)=e^x

 Il n'y a strictement aucune définition ci-dessus, ni de Log ni de l'exponentielle.

 Si, il y a une définition de Log qui est logarithme naturel, au contraire de log qui est le logarithme décimal.  C'est comme ça que je l'ai appris quand j'étais petit, dans la classe de mademoiselle Martin, en 1927.
 Quant à l'exponentielle j'ai pas dit que je définissais, j'ai dit que je posais. 

 Je constate que la rotation de 180° (π) de cette fonction me donne g(x) en miroir de points symétriques sur $(0, y₀) tel que g(x)=-e^(-x)+2 dont la racine est x'=i.Log2

 Et alors ? x -> 2 - e^(-x) n'est pas la même fonction que x -> e^x

 La racine réelle de g(x) est x'=-Log2.
 Les racine complexe de f(x) est x'=i.Log2  C'est la même chose écrite différemment. J'aime bien l'IA qui, sans que je le lui demande écrit :
"l'introduction de i sert à signaler que l'on parle de la racine complexe de f(x)".
 Elle fait des progrès l'IA.

 

 Log e^x = x

 Dans R oui. Pas nécessairement dans C où Log est multivaluée :
 Log(exp(x))=x+2iπk

 C'est sur cela que je suis en train de plancher.

 

 e^Logx = x

 Oui au sens où pour toutes les branches de Log on a un unique ensemble de valeur : {x} qu'on peut, sans grand risque, assimiler à x.

 Que se passe-t-il si j'ai e^Log(i.x)? Est-ce égal à i.x?

 

 e^a * e^x = e^(a+x)

 Oui, dans R comme dans C tout entier.

 Réponse identique. Les mathématiciens le disent. Mais est-ce certain? je ne fais que poser la question.  e^a * e^i = e^(a+i) ?

 Log a + Log b = Log ab

 Pour a,b dans R+* = ]0, +inf[, oui, En général dans C, non, sauf si le choix de branche pour le Log est tel que arg(a), arg(b) sont dans ]−π,π] et aussi que arg(a+b) est dans ]−π,π]
 

 Log a - Log b = Log (a/b)

 Idem en substituant 1/b à b dans la règle ci-dessus.
 

 Application pratique :
  e^Log4 = 4

 Voir e^Log(x) plus haut.

 Bieeeen !

 

 1^Log4 = 1

 Dans R oui. Dans C c'est la valeur principale. Il y en a une infinité :
 e^(2*π*i*k*Log(4)) Pour k dans Z.
 

 i^Log4 = ? ? ?

 exp(i*Log(4)*(π​/2+2πk))
Environ -0.57 + 0.82i pour la valeur principale.

 Je cherche une valeur réelle pure, ou imaginaire pure.  Sans introduction pour l'instant de valeurs "complexes".

 e^(i.Log4) = ? ? ?

 Qu'on peut noter aussi 4^i : il y a une infinité de valeurs : exp(-2πk)*e^(i*Log(4))

 C'est ce que disent les mathématiciens.
 Mais ça ne me convient pas.
 Tu parles d'une infinité de valeurs.
 Pourtant, mon problème est simple. e n'a qu'une valeur e=2,781828182. i est une opération (et pas un nombre comme on le croit). J'ai dit UNE opération, et pas 36. Log4 n'a lui aussi qu'une valeur.  Comment peut-on en arriver à une quantité infinie de valeurs où je n'en pressens qu'une?
 R.H.