Sujet : Re: fonctions
De : samuel_dot_devulder (at) *nospam* laposte_dot_net.invalid (Samuel DEVULDER)
Groupes : fr.sci.mathsDate : 20. May 2022, 08:01:45
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Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :
Bonjour,
J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
au pb suivant :
N est un entier naturel donné
- N > 1
C'est important (voir plus bas).
- N n'est pas très grand (3 à 10, probablement)
Ceci beaucoup moins.
Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
les plus "aléatoires" possibles telles que
- les valeurs sont positives
- la somme est égale à 1
On remarque que l'expression
: E = N*(sin(PI/2 * x)² + cos(PI/2 * x)²)^(N-1)
: = N*(1)^N-1
: = N
est constante égale à N.
Si on "expand" le terme en ^(N-1) [en considérant que c'est un polynôme en sin² et cos²], on a aussi
: E = Somme k=0..N-1 F_k(x)
où
: F_k(x) = N * C(N-1,k) * [sin(PI/2*x)²]^k * [cos(PI/2*x)²]^(N-1-k)
:
: N! 2k 2N-2-2k
: = ---------- [ sin(PI/2*x) ] [ cos(PI/2*x) ]
: k!(N-1-k)!
On a alors N fonctions, F_0..F_(N-1) toutes positives (x entre 0 et 1, donc PI/2*x entre 0 et PI/2 et sin et cos sont positifs). Elles sont aussi continues, et leur somme E est constante (indépendant de x) égale à N>1.
Illustration:
https://tinyurl.com/yck2atfcC'est cela que tu recherches?
sam.