Re: Exercice niveau 6 ème

[Supersedes pour corriger une inexactitude]

Le 25/07/2023 09:10, ast a écrit :

Un exercice donné à des 6 ème que tous les parents
ne savent pas faire, même ceux ayant fait des maths.
 
Trouvez un nombre à 4 chiffres tel que si on
l'additionne à la somme de ses 4 chiffres on
trouve 2000.

La somme des quatre chiffres est forcément inférieure à 40 (on
pourrait facilement affiner mais ce n'est pas la peine ici),
donc le nombre est supérieur à 2000 − 40 = 1960. On a déjà les
deux premiers chiffres, 1 et 9 dont la somme est 10.

Ensuite, au pire on essaye toutes les valeurs possibles les unes
après les autres. Mais si on est malin et qu'on sait qu'un nombre
a la même « signature » que la somme de ses chiffres au sens de
la mal nommé « preuve par 9 » (de façon plus précise que les deux
sont congrus modulo 9), alors on peut réduire efficacement les
recherches.

En effet, si un nombre plus la somme de ses chiffres vaut 2000,
soit 2 modulo 9, alors ce nombre doit être lui-même congru à 1
modulo 9. Sachant qu'il s'écrit 19du avec 1 + 9 = 10 (déjà congru
à 1 modulo 9), d + u (tout comme du) doit être un multiple de 9.

Or d + u ne vaut évidemment pas 0 (le nombre 1900 ne convient pas)
ni 18 (le nombre 1999 ne convient pas non plus).

Donc d + u = 9, alors 1 + 9 + d + u = 19, et le nombre cherché est
2000 − 19 = 1981.

On vérifie : 1981 + (1+9+8+1) = 1981 + 19 = 2000


Note : ce que j'ai décrit de façon très longue et très verbeuse ici
prend en réalité moins d'une minute à faire sur un bout de brouillon,
voire de tête pour les plus habiles.

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Olivier Miakinen