Re: Racines multiples

Le 16/05/2025 à 14:05, Julien Arlandis a écrit :
..

Je dirais plutôt non. L'écrire est trompeuse parce qu'elle laisse penser que z->z^(1/2) est une fonction de Z dans Z, alors que c'est une fonction de Z dans P(Z)
 exp(2iπ) = exp(4iπ) = 1

 Pour moi ce sont pas les mêmes nombres, ils ont même module mais pas le même argument et comme cette quantité intervient dans les opérations sur les exposants, je vois mal comment on peut affirmer aussi catégoriquement que les deux nombres sont équivalents.

 Ce sont les *mêmes* nombre. L'argument est défini modulo 2*pi (c'est un peu normal pour un... angle)

 L'argument ne me convainc pas car si tu développes e^x en série entière la notion d'angle disparait.

Définie de toutes les façons que tu veux, y compris par une série entière, il reste que z->exp(z) est périodique de période 2pi.

Je vois deux approches possibles :
1) on considère que exp(2iπ) = exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est bivaluée mais dans ce cas on renonce à la généralisation de (a^x)^y = a^(x*y).

 On n'y renonce pas : les valeurs (au pluriel) sont les mêmes des deux côtés, deux valeurs prises dans deux branches tout ce qu'il y a de plus identiques.

 Si on y renonce pas, comment tu passes de exp(4iπ)^(1/2) = exp(2iπ) à la valeur -1 ?

-1 \in {-1, 1}

2) on considère que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) et que l'opération ^(1/2) est monovaluée et dans ce cas la on peut généraliser (a^x)^y = a^(x*y) à x et y complexes.

 Il est totalement impossible de considérer que exp(2iπ) ≠ exp(4iπ) ! Les deux expressions qualifient exactement la même classe d'équivalence dans C = R[X]/(X^2 + 1) à savoir celle du polynôme constant 1 !

 Et pourtant ils n'occupent pas le même feuillet sur la surface de Riemann ?

Les éléments d'une surface de Riemann ne sont pas nécessairement des nombres complexes, tout comme les points d'une surface dans R^3 ne sont pas des nombres réels. Dire que deux valeurs complexes (pire ici, puisqu'elle sont égales) sont sur deux feuillets *en soi* sans spécifier de quelle variété on parle n'a aucun sens.
"la" surface de Riemann ? Laquelle ? C tout entier est aussi une surface de Riemann (avec la carte identité, ou la carte "conjugée"). Ça n'a aucun sens *en soi* de dire que x et y sont sur des branches différentes sans dire de quelle variété on parle, et x et y, points d'une surface de Riemann, encore une fois ne sont pas des nombres complexes spécialement...
Tu choisis arbitrairement la surface de Riemann de sqrt, c'est pas un tel choix qui va te mener à exp(2i*pi) =/= exp(4i*pi) (qui sont égaux de toute façon), ce sont les *images* de sqrt qui se placent sur la surface pas les antécédents, et un antécédent unique ne risque pas d'avoir plusieurs valeurs.

En ne perdant pas de vue la multivaluation de z->z^(1/2)
 exp(2iπ)^(1/2) = exp(4iπ)^(1/2) = 1^(1/2) = { -1, 1 }

 C'est bizarre d'écrire ça, on peut construire aucune arithmétique avec un truc pareil non ?

 Qu'est-ce que tu appelles "arithmétique" dans ce contexte ?

 Faire des calculs élémentaires.
C'est quoi le résultat de 1^(1/2) + 1^(1/2) par exemple ?

Trouve moi une seule situation où poser, voire obtenir, un tel calcul aurait un sens.