Re: La série des infinis

Le 27/09/2023 08:30, Samuel Devulder a écrit :

Le 27/09/2023 à 00:13, Olivier Miakinen a écrit :
 

D'une part, il semble prouvé que la définition de aleph_1 est valide,
c'est-à-dire qu'il n'existe *aucun* autre infini possible entre ce qu'on
appelle aleph_0 et ce qu'on appelle aleph_1.

 
Les Aleph sont donc indexables et pas infiniment proches les uns des
autres. Par contre je suis surpris que du dises solide.

Parce qu'il ne semble absolument pas mis en question qu'il existe un
aleph_1, un aleph_2, et ainsi de suite.

C'est justement
l'hypothèse du continu qu'il n'en existe pas entre les deux, et c'est
indémontrable, non ?

Non, tu fais encore la même confusion entre aleph_1 (qui est le plus petit
infini strictment plus grand que aleph_0) et 2**aleph_0 (qui est le cardinal
de l'ensemble des réels).

L'hypothèse du continu, c'est qu'il n'existe aucun infini compris entre
aleph_0 et 2**aleph_0, ce qui revient à dire que 2**aleph_0 est égal à
aleph_1. C'est ça qui est indécidable.

En revanche, ce qui n'est du tout remis en question, c'est le fait de
l'existence même d'un aleph_1 (alors que par exemple il n'existe pas
de « réel_1 » qui serait le plus petit nombre réel strictement positif).

D'autre part, l'hypothèse du continu est que « aleph_1 = 2^aleph_0 »
c'est-à-dire qu'il n'existe aucun autre infini entre le cardinal de
N (aleph_0) et le cardinal de R (2^aleph_0),

 
Oui on parle de continu alors que les alephs sont indexables. Tu vois la
bizarrerie ?

Oui, le nom m'avait toujours paru bizarre aussi, mais il n'est pas question
de continuité dans la suite des alephs ! D'après ce que j'ai compris, il
s'agit de l'hypothèse que « l'ensemble des nombres continus » (qui est un
autre nom autrefois donné à ce que l'on appelle aujourd'hui « l'ensemble
des réels ») a comme cardinal aleph_1.

Autrement dit, « hypothèse du continu » est à prendre comme synonyme de
« hypothèse de l'ensemble ℝ ».

C'est ptet moi qui trouve ca étrange car en l’occurrence
"continue" ici est juste le fait que le cardinal du continu (R) est
forcément celui "après" celui des entiers (N), là où le naïf que je suis
peut se demander si cela concernait le nombre d'infinis distincts entre
ces deux ensembles.

Ah, j'aurais dû lire ta dernière phrase avant de répondre, car tu dis exactement
la même chose ! Bon, je n'efface pas. :-)


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Olivier Miakinen