[SOLUTION] solve a + k b ~ entier ( i.e. à moins d'epsilon d'un entier )

Le 09/11/2023 21:25, je répondais à robby :

 
soit a,b deux réels positifs.
je cherche k entier
tel que a + k b soit à moins de epsilon d'un entier.
 
→ combien vaut k ?

 
- si b est irrationnel, le calcul de la fraction continuée de b permet de
 trouver très vite une approximation par un rationnel p/q avec une précision
 inférieure à 1/q² :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Th%C3%A9or%C3%A8me_de_meilleure_approximation_rationnelle>.

Parmi toutes les approximations de cette forme, considérons la première trouvée
pour laquelle q est supérieur à 1/ε. On a alors :
 0 < |b − p/q| < 1/q² < ε/q
d'où :
 0 < |q⋅b - p| < ε
et donc q⋅b est à une distance (non nulle) inférieure à ε d'un entier.

Considérons maintenant, pour un entier m donné, la différence entre m(q⋅b - p)
et (m + 1)(q⋅b - p). Cette différence vaut |q⋅b - p| qui est non nulle mais
inférieure à ε.

Donc, en partant de a et en y ajoutant (q⋅b - p), puis 2(q⋅b - p), 3(q⋅b - p),
4(q⋅b - p), et ainsi de suite, tu obtiens une série de nombres dont chacun est
à moins de ε du précédent. Il y en a forcément un, pour un entier k donné, tel
que a + k(q⋅b - p) est à une distance inférieure à ε d'un entier.

Vu que p est lui-même un entier, ajouter k⋅p au résultat ne change pas la
distance aux entiers, d'où le résultat :
 a + (k⋅q)⋅b est à une distance inférieure à ε d'un entier.

CQFD.


Rappel : ceci ne vaut que si b est irrationnel, parce que si b est rationnel
voire entier il est possible que le problème n'ait pas de solution pour
certaines valeurs de a et de ε.

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Olivier Miakinen