Re: Biaiser les probabilités

Le 28/01/2024 22:01, Julien Arlandis m'a répondu :

 
Alors de deux choses l'une.
 
Si sur une grille de 50 cases les grilles « équilibrées » (avec à peu près
autant de cases gagnantes que perdantes) sont privilégiées par rapport aux
autres, c'est-à-dire s'il y a un biais sur la globalité d'une grille et que
donc la probabilité n'est pas strictement 50 % pour chaque case indépendamment
des autres cases, alors oui, peut-être qu'il y a un moyen de tricher. Dans ce
cas, en réalité, il suffit de cocher 49 cases avant de parier sur la 50e.

 
Qu'entends tu par à peu près,

Je veux dire si lors de la création des grilles certaines d'entre elles
étaient écartées parce que semblant trop « déséquilibrées ». Par exemple
si on conservait toutes les grilles, sauf celles avec 50 valeurs identiques.

Dans ce cas, bien que chaque case prise individuellement ait toujours
exactement 50 % de chance d'être gagnante ou perdante, il y aurait un biais
sur l'ensemble des cases d'une grille dont un joueur pourrait profiter.

soit les grilles sont totalement
équilibrées (25 cases gagnantes et 25 cases perdantes) et ce n'est pas
ce que dit l'énoncé,

En effet. Et ce n'est pas non plus ce biais maximal que j'envisageais,
voir mon exemple juste au dessus.

soit elles le sont à peu près en moyenne et c'est
forcément le cas étant donné que chaque case a autant de probabilité
d'être gagnante que perdante.

Tu confirmes donc que la probabilité pour une case n'est *strictement*
pas dépendante des 49 autres cases, n'est-ce pas ?

Ça veut dire qu'une grille avec 49 cases perdantes puis une 50e case
également perdante a exactement la même probabilité qu'une grille avec
49 cases perdantes puis une 50e case gagnante.

Mais si la probabilité sur chaque case est strictement 50 % indépendamment
des valeurs des autres cases de la grille, alors c'est efji qui a raison et
tu es en train de te faire avoir par le paradoxe du joueur :
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_du_parieur>

 
Je connais le paradoxe du joueur qui consiste à évaluer la probabilité
d'un évènement futur donc qui n'a pas encore été tiré, au regard des
évènements passés.

Ok.

La situation que je propose est différente, tu
aurais totalement raison d'évoquer ce paradoxe si le résultat révélé
par chaque grattage n'était pas encore déterminé avant le grattage, or
le joueur qui gratte une case n'effectue pas un tirage, il ne fait que le
révéler.

Eh bien non, du point de vue du joueur, la situation est exactement la
même puisqu'il ne peut pas savoir avant de gratter une case si celle-ci
est gagnante ou perdante. Si tu veux penser en terme de temporalité,
alors le passé et le futur correspondent au moment où le joueur gratte
telle ou telle case.

Encore une fois, considère le cas des deux grilles parfaitement équi-
probables, l'une avec 50 P et l'autre avec 49 P et un G. Lorsque le
joueur aura gratté 49 P, il y a toujours une chance sur deux pour que
la dernière case soit aussi un P.

On pourrait penser que comme la probabilité est de 1/2 dans
les deux cas de figure, les deux situations ne font aucune différence.
Pour fixer les esprits sur ce point précis, imaginons que pour aider le
joueur dans son choix, l'organisateur du jeu (qui connait la position des
cases gagnantes) gratte au préalable 10 cases perdantes, on se retrouve
dans cette situation avec 40 cases restantes.

Ah, mais là c'est comme dans le jeu de Monty Hall. Déjà, ta situation
est impossible dans certains cas (ceux où il y a moins de 10 cases
perdantes), mais surtout le biais est introduit par l'organisateur qui
sait comment ne gratter que des cases perdantes.

Dans cette situation qui rappelle le problème de Monty Hall

Ah oui, j'aurais dû lire la phrase suivante avant de répondre. ;-)

<https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall> on s'attend à
ce que la probabilité de gain augmente en proportion du nombre de cases
perdantes révélées, et dans ce cas il parait assez évident que le
joueur a plus de chances que la prochaine case qu'il révèlera en la
grattant soit un gain plutôt qu'une perte, et ceci même si la case
concernée est le résultat d'un tirage équiprobable entre les deux
éventualités. La probabilité de tirage d'une éventualité n'est donc
pas la même que la probabilité de la révéler.

Exactement. Mais ce n'est *pas* le même problème. Si au lieu de choisir 10
cases perdantes l'organisateur tirait 10 cases au hasard, là ce serait la
même situation et le joueur ne serait pas plus avancé pour autant.

Si tu es d'accord jusque là, quelle différence cela ferait il si les 10
cases perdantes sont grattées par l'organisateur, ou si elles le sont par
le joueur avec une chance sur 1024 que cela se produise ?

Tu l'as dit toi-même : l'organisateur *sait* quelles cases gratter pour ne
pas découvrir une case gagnante.

En outre, dans le problème initial de Monty Hall, on savait déjà qu'il
existait deux portes perdantes et que donc l'organisateur pouvait toujours
en choisir une. Ce n'est pas le cas avec tes grilles, où il se pourrait
très bien (une chance sur 2^50) que toutes les cases soient gagnantes.

Tout comme il se pourrait (même probabilité) que toutes soient perdantes.

Cette nouvelle question n'est qu'un aparté avant de revenir sur le fond
de la question initiale.

J'espère avoir réussi à te faire prendre conscience que l'erreur du parieur
s'applique à ta question de grilles exactement de la même façon que pour
un tirage à pile ou face.

--
Olivier Miakinen