Re: [SOLUTION] Biaiser les probabilités

Le 04/02/2024 13:22, Julien Arlandis m'a répondu :

 
Ça c'est facile : à partir du moment où tu es arrivé à N-2 sans avoir
jamais
l'avantage p > g, et que toutes les cases gagnantes n'ont pas encore été
grattées,

Note bien que j'avais écrit « et que toutes les cases gagnantes n'ont pas
encore été grattées »

ça veut dire qu'il reste exactement une case gagnante et une case
perdante dans les deux dernières cases.

 
Tu peux aussi arriver à N-2 en ayant gratté les N/2 cases gagnantes.

Oui, mais dans ce cas-là à quoi bon continuer à gratter des cases ou
à miser sur l'une d'entre elles ?

La question revient à dénombrer le nombre de combinaisons n1 qui
conduisent à miser sur la dernière case, et parmi ces n1 combinaisons
combien y en a t-il où la condition p>g est vérifiée (notons n2 ce
nombre).

Ce nombre sera différent si tu cesses de jouer aussitôt que tu as
découvert N/2 cases gagnantes, ou bien si tu continues à gratter même
si tu s ais qu'il ne te reste plus que des cases perdantes.

La probabilité de gagner en misant sur la dernière case est donc n2/n1,
ce nombre est forcément inférieur à 1/2 de façon à compenser toutes
les probabilités de gagner dans les cas où tu es contraint de miser
avant d'avoir gratté N cases et où l'on sait que la probabilité de gain
est supérieure à 1/2.

Mais comment comptes-tu tous les cas où tu as gratté toutes les cases
gagnantes avant d'avoir gratté N-2 cases ? Cela réduit forcément ta
probabilité de gain, et tu ne peux donc plus affirmer que celle-ci
était « (strictement) supérieure à 1/2 ».

Alors, que le joueur mise sur l'une des deux cases au hasard ou qu'il gratte
la N-1 avant de miser sur la N, la probabilité de gain est la même : 50 %.

 
Je ne suis pas sûr que l'on parle de la même chose, alors formalisons un
peu le problème, on note P(i) la probabilité de gagner sur la i_ème
case d'une grille équilibrée (N pair) avec la stratégie que j'ai
évoquée (qui consiste à gratter tant que p<g et miser juste après).

C'est strictement ta stratégie ? Tu veux dire que lorsque tu as découvert
N/2 cases gagnantes tu continues à gratter pour la beauté du geste, même
si tu sais que tu ne miseras jamais, ou éventuellement que tu miseras sur
la dernière case que tu sais depuis longtemps être une case perdante ?

 
P(i) = 0 pour l'ensemble des i impairs car on peut démontrer facilement
que l'avantage ne peut être obtenu qu'après grattage d'un nombre impair
de cases grattées,

Oui.

et la valeur P(1) = 1/2 (on gagne si dès le premier
grattage on tombe sur un gain).

???

Tu viens de dire (avec raison) que P(i) = 0 pour toute case impaire puisque
selon ta stratégie tu ne miseras jamais sur une telle case !

Peut-être qu'ici tu penses à une autre probabilité, mettons Q(i), qui serait
la probabilité de gain *si* tu décidais de miser à ce moment-là (ce que tu
fais ou non en fonction de ta stratégie).

D'une manière générale on peut démontrer que pour tout i pair tel que
i < N, P(i) = (N/2-g)/(N-i+1) où g est le nombre de cases gagnantes
grattées

[NON]

Ce que tu calcules là, ce n'est pas P(i) mais Q(i).

[...]

J'ai supprimé le reste, forcément faux puisque tu y confonds le P(i) que
tu as défini et le Q(i) qui est tout autre chose.

Au finale, tu veux calculer quoi ? Cela, tout en sachant que quelle que
soit ta stratégie tu ne pourras jamais b(i)aiser les probabilités.

--
Olivier Miakinen