Re: Courbe de Bezier cubique

Le 28/07/2024 à 18:50, je répondais au pirate :

 
  B(t) = P0(1-t)^3 + 3P1t(1-t)^2+3P2t^2(1-t)+P3t^3
  avec t [0,1]
  <https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier>

 
Calculer /le/ t pour un x, c'est à priori impossible dans le cas
général. En effet, pour la plupart des x de R il n'y a aucun t qui
corresponde, alors que pour certains x il peut y avoir plusieurs t.
À priori je dirais qu'il peut exister jusqu'à trois valeurs de t
pour le même x dans le cas des courbes de Bézier cubiques, avec
donc trois y différents pour ce même x.

Pour prendre un exemple simple, soient :
 P3 = -P0 = (1,1)
 P1 = -P2 = (a,-1)

On a alors :
 x(t) = (6a+2)t³ - (9a+3)t² + (3a+3)t - 1
 y(t) = -4t³ + 6t² - 1

... que l'on peut factoriser :
 x(t) = (2t-1)((3a+1)t² - (3a+1)t + 1)
 y(t) = -(2t-1)(2t² - 2t - 1)

La courbe passe évidemment par le point (0,0) quand t = 1/2. Il reste
à savoir s'il y a d'autres valeurs de t pour lesquelles x = 0 (alors
que sur [0,1], y(t) ne s'annule qu'en t = 1/2). Tout dépend de la valeur
de a.

Étudions la fonction g(t) = ((3a+1)t² - (3a+1)t + 1). Le discriminant
delta vaut (3a+1)² - 4(3a+1) = 3(a-1)(3a+1)

Si a vaut 1, x(t) = (2t-1)(4t²-4t+1) = (2t-1)³, et t=1/2 est une racine
triple de x(t).

Si a est compris entre 0 et 1, g(t) ne s'annule jamais, et on peut
effectivement trouver un seul 't' correspondant à x = 0 (et même à
tout x entre -1 et +1).

Mais si a est plus grand que 1, alors il existe trois 't' différents et
trois 'y' différents pour x = 0.

CQFD. Ta demande de départ était bien illusoire.


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Olivier Miakinen