Re: Carrés parfaits ?

Le 31/10/2024 14:15, efji a écrit :

 
On peut en effet essayer de faire du reverse engineering sur la "pensée"
tordue et branlante de l'auteur de l'article.

Oui. Ou pas. :-)

Je propose un problème
pour lequel je n'ai pas de solution : existe-t-il des carrés parfaits
formés avec un seul chiffre ? Et s'il en existe, y en a-t-il une
infinité ou bien y a-t-il un carré parfait maximal ?

Déjà il y a les nombres 0, 1, 4 et 9. Je conjecture qu'il n'en existe pas
d'autres mais cela reste à démontrer.

On peut se concentrer sur l'étude des facteurs premiers des nombres qui
s'écrivent 1111...1 en base 10. Si on en trouve un on en aura 2 autres
en prime : si 111...1 = n^2, alors 444...4 = (2n)^2 et 999...9 = (3n)^2.

En outre, sachant qu'un carré ne peut se terminer que par l'un des chiffres
0, 1, 4, 5, 6 ou 9, on peut facilement éliminer les cas autre que les trois
que tu cites.

000...0 : ce n'est pas différent de 0.

555...5 : ce nombre étant divisible par 5, il doit aussi être divisible
par 5² = 25, et donc se terminer par 00, 25, 50 ou 75. Contradiction.

666...6 : ce nombre étant divisible par 2, il doit aussi être divisible
par 2² = 4, or un nombre terminé par 66 est toujours congru à 2 modulo 4.
Contradiction.


Il reste donc à traiter le seul cas 111...1. Je n'ai pas le temps de le faire
tout de suite mais ça ne devrait pas être très long je pense.

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Olivier Miakinen