Re: Domaine de définition

Le 13/11/2024 10:10, Julien Arlandis a écrit :

 
[à propos de f(x) = 1/(1/(a*x)) pour a ≠ 0]

 
Ici a était le paramètre comme x dans f(x). L'argument c'est que si
1/(1/a*0) se prolonge en a*0 pour a ≠ 0, en remplaçant la constante a
par le paramètre x on se retrouve avec f(x) = 1/(1/x*0) qui se prolonge
en x*0 pour tout x ≠ 0.

Oui mais non.

Je réécris ça proprement.

On part de :
  fₐ(x) = 1/(1/(a*x)) pour a ≠ 0

Lorsque a ≠ 0, la fonction fₐ est définie sur ℝ∗, mais on peut la prolonger
en 0 en posant fₐ(0) = 0, car la limite de fₐ existe à gauche et à droite
de 0 et que les deux limites sont identiques. Cette prolongation, en étendant
le domaine de définition, rend la fonction identique à une fonction gₐ définie
pour tout x par gₐ(x) = a*x.

Maintenant tu ne veux plus étendre *une* fonction fₐ en *un* point où elle
n'était pas définie, mais tu veux étendre la *famille de fonctions* fₐ en
une nouvelle fonction f₀, que tu voudrais définir de la façon suivante (et
j'y mets de gros guillemets) :
« pour tout x de son domaine de définition, f₀(x) = 1/(1/(0*x)) = 1/(1/0) »

Le problème est que cette fonction f₀ n'est définie nulle part. Alors on peut
déjà éliminer l'idée de prolonger la fonction d'une zone où elle est définie
vers un point où elle ne l'est pas.


Mais plus généralement, le problème est que définir une limite dans l'espace
des fonctions d'a rien à voir avec une limite dans l'espace des nombres réels.


Je te donne un exemple.

Soit la fonction f₁ définie sur [0,1] par :
 f₁(x) = 1/2 √(1 − (2x−1)²)
La courbe représentative de ette fonction est un demi-cercle de diamètre 1.
La longueur de cette courbe est π/2.

Maintenant définissons la famille de fonctions fₙ sur le segment [0,1] par :
 fₙ(x) = f₁(n.x − ⌊n.x⌋)/n   (où ⌊n.x⌋ désigne la partie entière de n.x)

Chaque fonction fₙ est représentée par n demi-cercles de diamètres 1/n, côte
à côte, sur le segment [0,1]. La longueur de chaque courbe est toujours π/2
quel que soit n.

On pourrait vouloir étendre cette série de fonctions vers une fonction f par
f(x) = la limite quand n tend vers l'infini de fₙ(x). Sachant que pour tout
n ∈ ℕ∗ et pour tout x ∈ [0,1] on a 0 ≤ f(x) ≤ 1/n, cette limite est la fonction
nulle sur l'intervalle [0,1] :
 ∀ x ∈ [0,1], f(x) = 0

Or la longueur du segment vaut 1. On a donc toute une serie de courbes de
longueurs π/2 qui tendent vers une courbe de longueur 1, d'où π/2 = 1.


C'est évidemment absurde, et la raison de cette absurdité est que l'on ne peut
pas faire une limite de fonctions comme on fait une limite de réels. Et tu as
le même genre de problème quand tu essayes de faire tendre a vers 0 dans ta
définition de fₐ(x) = 1/(1/(a*x)) : tu ne calcules pas une limite de nombres
réels, tu cherches une limite de fonctions.


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Olivier Miakinen