Re: Domaine de définition

Le 13/11/2024 à 12:30, Olivier Miakinen a écrit :

C'est évidemment absurde, et la raison de cette absurdité est que l'on ne peut
pas faire une limite de fonctions comme on fait une limite de réels. Et tu as
le même genre de problème quand tu essayes de faire tendre a vers 0 dans ta
définition de fₐ(x) = 1/(1/(a*x)) : tu ne calcules pas une limite de nombres
réels, tu cherches une limite de fonctions.

La notion de limite est liée à la notion de topologie.
Sur R, qui est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et la topologie "naturelle" permet de définir la notion de limite.
Dans les espaces de fonctions, qui sont de dimension infinie, toutes les normes ne sont pas équivalentes et donc on peut définir tout un tas de topologies différentes qui vont donner des notions de limites différentes. Cela n'a aucun sens de dire "f_n tend vers f" si on ne précise pas pour quelle norme. Par exemple la convergence ponctuelle :
sup(|f_n(x)-f(x)|) -> 0
est très différente de la convergence en norme L2 :
\int |f_n(x)-f(x)|^2 dx -> 0
Bref, tout ceci est assez compliqué et très peu intuitif pour le commun des mortels :)
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F.J.